Mehrstufige Zufallsexperimente — Aufgaben

Klasse 10

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Eine faire Münze wird zweimal geworfen.

1. Zeichne das vollständige Baumdiagramm.
2. Bestimme $P(\text{genau ein Kopf})$.
3. Bestimme $P(\text{mindestens ein Kopf})$.

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Aufgabe 2

L

Eine Urne enthält 4 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen.

1. Zeichne das Baumdiagramm.
2. Berechne $P(\text{beide gleiche Farbe})$.
3. Berechne $P(\text{mindestens eine rote Kugel})$.

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Aufgabe 3

L

Dieselbe Urne wie in Aufgabe 2 (4 rot, 3 blau), nun wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

1. Zeichne das Baumdiagramm mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten.
2. Berechne $P(\text{beide gleiche Farbe})$.
3. Vergleiche das Ergebnis mit Aufgabe 2. Was fällt auf?

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Aufgabe 4

L

Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen.

1. Wie viele Pfade hat das vollständige Baumdiagramm?
2. Berechne $P(\text{mindestens eine 6})$ mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit.
3. Berechne $P(\text{genau zwei 6en})$.

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Aufgabe 5

L

Zuerst wird eine Münze geworfen. Fällt Kopf, wird ein Würfel geworfen und notiert, ob die Zahl $\leq 3$ (Ereignis $N$) oder $> 3$ (Ereignis $G$) ist. Fällt Zahl, wird eine Kugel aus einer Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln gezogen.

1. Zeichne das vollständige Baumdiagramm.
2. Berechne $P(\text{rote Kugel oder } G)$.
3. Berechne $P(\text{Kopf und } N)$.

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Aufgabe 6

L

Eine faire Münze wird $100$-mal geworfen.

1. Wie viele Pfade hätte das vollständige Baumdiagramm?
2. Berechne $P(\text{mindestens einmal Kopf})$ mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit.
3. Ab welcher Anzahl $n$ von Würfen gilt $P(\text{mindestens einmal Kopf}) > 0{,}9999$?

(Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 4b.)

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Aufgabe 7

L

Ein Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit $p = \dfrac{1}{1\,000\,000}$. Das Experiment wird $n = 2\,000\,000$-mal wiederholt.

1. Berechne $P(\text{kein Treffer in allen } n \text{ Versuchen})$.
2. Berechne $P(\text{mindestens ein Treffer})$.
3. Was fällt auf, wenn man das Ergebnis mit $1 - \dfrac{1}{e^2}$ vergleicht?

(Hinweis: $\left(1 - \tfrac{1}{n}\right)^n \to \tfrac{1}{e}$ für $n \to \infty$.)

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Lösungen

Lösung 1

1. Baumdiagramm: Wurzel → K ($\tfrac{1}{2}$) und Z ($\tfrac{1}{2}$); von K: KK, KZ; von Z: ZK, ZZ — je Ast $\tfrac{1}{2}$.

2. Günstige Pfade: KZ und ZK.

$P = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}$

3. $P(\text{mind. ein K}) = 1 - P(\text{kein K}) = 1 - \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4}$

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Lösung 2

1. Äste je $\tfrac{4}{7}$ (R) und $\tfrac{3}{7}$ (B) auf beiden Stufen.

2. $P(RR) + P(BB) = \tfrac{4}{7} \cdot \tfrac{4}{7} + \tfrac{3}{7} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{16}{49} + \tfrac{9}{49} = \dfrac{25}{49}$

3. $P(\text{mind. 1 R}) = 1 - P(BB) = 1 - \tfrac{9}{49} = \dfrac{40}{49}$

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Lösung 3

1. Stufe 1: R mit $\tfrac{4}{7}$, B mit $\tfrac{3}{7}$. Nach R: R mit $\tfrac{3}{6}$, B mit $\tfrac{3}{6}$. Nach B: R mit $\tfrac{4}{6}$, B mit $\tfrac{2}{6}$.

2. $P(RR) = \tfrac{4}{7} \cdot \tfrac{3}{6} = \tfrac{12}{42} = \tfrac{2}{7}$

$P(BB) = \tfrac{3}{7} \cdot \tfrac{2}{6} = \tfrac{6}{42} = \tfrac{1}{7}$

$P(\text{gleich}) = \tfrac{2}{7} + \tfrac{1}{7} = \dfrac{3}{7}$

3. Mit Zurücklegen: $\tfrac{25}{49} \approx 0{,}510$; ohne Zurücklegen: $\tfrac{3}{7} \approx 0{,}429$.

Ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit für gleiche Farbe geringer, weil nach dem ersten Zug weniger Kugeln der gezogenen Farbe verbleiben.

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Lösung 4

1. $6^3 = 216$ Pfade.

2. $P(\text{mind. eine 6}) = 1 - P(\text{keine 6}) = 1 - \left(\tfrac{5}{6}\right)^3 = 1 - \tfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216} \approx 0{,}421$

3. Genau zwei 6en: 3 Pfade (6,6,¬6), (6,¬6,6), (¬6,6,6), je mit $P = \left(\tfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \tfrac{5}{6} = \tfrac{5}{216}$

$P = 3 \cdot \tfrac{5}{216} = \dfrac{15}{216} = \dfrac{5}{72} \approx 0{,}069$

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Lösung 5

1. Stufe 1: K ($\tfrac{1}{2}$), Z ($\tfrac{1}{2}$). Von K: N ($\tfrac{1}{2}$), G ($\tfrac{1}{2}$). Von Z: R ($\tfrac{2}{5}$), B ($\tfrac{3}{5}$).

2. Pfade mit R oder G: (Z,R) und (K,G).

$P = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{4} = \dfrac{9}{20}$

3. $P(\text{K und N}) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

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Lösung 6

1. $2^{100} = 1\,267\,650\,600\,228\,229\,401\,496\,703\,205\,376$ Pfade.

2. $P(\text{mind. ein K}) = 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{100} \approx 1 - 7{,}89 \cdot 10^{-31} \approx 1$

3. $1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^n > 0{,}9999 \Rightarrow \left(\tfrac{1}{2}\right)^n < 0{,}0001$

$n > \dfrac{\ln 0{,}0001}{\ln 0{,}5} = \dfrac{-9{,}2103}{-0{,}6931} \approx 13{,}3$

Ab $n = 14$ Würfen gilt $P > 0{,}9999$.

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Lösung 7

1. $P(\text{kein Treffer}) = \left(1 - \tfrac{1}{1\,000\,000}\right)^{2\,000\,000} = (0{,}999999)^{2\,000\,000}$

$\ln\left((0{,}999999)^{2\,000\,000}\right) = 2\,000\,000 \cdot \ln(0{,}999999) \approx 2\,000\,000 \cdot (-10^{-6}) = -2$

$P(\text{kein Treffer}) \approx e^{-2} \approx 0{,}1353$

2. $P(\text{mind. ein Treffer}) = 1 - e^{-2} \approx 0{,}8647$

3. $1 - \tfrac{1}{e^2} \approx 0{,}8647$ — der Vergleich stimmt exakt, weil $\left(1 - \tfrac{1}{n}\right)^{2n} \to e^{-2}$.