Stetigkeit und Unstetigkeitsstellen

Klasse 11

Grundidee

$f$ heißt stetig an der Stelle $x_0$, wenn drei Dinge zusammenpassen:

1. $f(x_0)$ ist definiert,
2. $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ existiert,
3. beide Werte sind gleich: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Anschaulich: der Graph lässt sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen.

Prüfung bei abschnittsweise definierten Funktionen an der Übergangsstelle $x_0$:

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) \;\overset{?}{=}\; \lim_{x \to x_0^+} f(x) \;\overset{?}{=}\; f(x_0)$$

Also: linken Term für $x \to x_0$ auswerten, rechten Term für $x \to x_0$ auswerten, Funktionswert bestimmen — stimmen alle drei überein, ist $f$ stetig.

Typ	Merkmal
Sprungstelle	linker und rechter Grenzwert existieren, sind aber verschieden
Hebbare Lücke	Grenzwert existiert, $f(x_0)$ fehlt oder passt nicht
Polstelle	$\lvert f(x)\rvert \to \infty$

Die drei Arten von Unstetigkeit an der Stelle x₀ = 1

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Untersuche, ob $f$ an der Stelle $x_0 = 1$ stetig ist:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 2x - 1 & x \geq 1 \end{cases}$$

Aufgabe 2

L

Untersuche jeweils an der angegebenen Stelle auf Stetigkeit:

1. $f(x) = \begin{cases} x + 3 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases}$ bei $x_0 = 2$

2. $g(x) = \begin{cases} 4 - x & x \leq 0 \\ x^2 + 4 & x > 0 \end{cases}$ bei $x_0 = 0$

Aufgabe 3

L

Ordne den drei Graphen der Einführung (A, B, C) jeweils den Typ der Unstetigkeitsstelle zu und gib an, welche der drei Stetigkeitsbedingungen dort verletzt ist.

Aufgabe 4

L

Bestimme $a \in \mathbb{R}$ so, dass $f$ an der Stelle $x_0 = 2$ stetig ist:

$$f(x) = \begin{cases} a\,x + 1 & x < 2 \\ x^2 - 3 & x \geq 2 \end{cases}$$

Aufgabe 5

L

Gegeben ist $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ für $x \neq 2$.

1. Welcher Typ von Unstetigkeitsstelle liegt bei $x_0 = 2$ vor?
2. Wie muss $f(2)$ definiert werden, damit $f$ auf ganz $\mathbb{R}$ stetig ist?

Aufgabe 6

L

Bestimme $a$ und $b$ so, dass $f$ überall stetig ist:

$$f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \\ a\,x^2 + b & 0 \leq x \leq 2 \\ 3x - 5 & x > 2 \end{cases}$$

Aufgabe 7

L

Untersuche auf Stetigkeit bei $x_0 = 10^{6}$:

$$f(x) = \begin{cases} 10^{-6}\,x + 1 & x < 10^{6} \\ 2 & x \geq 10^{6} \end{cases}$$

Aufgabe 8

L

Gegeben ist $f(x) = \dfrac{x^{50} - 1}{x - 1}$ für $x \neq 1$.

Welcher Typ von Unstetigkeitsstelle liegt bei $x_0 = 1$ vor, und wie muss $f(1)$ festgelegt werden, damit $f$ dort stetig wird?

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Lösungen

Lösung 1

$$\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1, \qquad \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1, \qquad f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$$

Alle drei Werte stimmen überein → $f$ ist bei $x_0 = 1$ stetig.

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Lösung 2

1. $\lim_{x \to 2^-}(x+3) = 5$, $\lim_{x \to 2^+} x^2 = 4$, $f(2) = 4$.

Linker und rechter Grenzwert sind verschieden → Sprungstelle, $f$ ist bei $x_0 = 2$ nicht stetig (Sprunghöhe $1$).

2. $\lim_{x \to 0^-}(4 - x) = 4$, $\lim_{x \to 0^+}(x^2 + 4) = 4$, $f(0) = 4 - 0 = 4$.

Alle drei gleich → stetig.

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Lösung 3

• Graph A — Sprungstelle. Linker Grenzwert $2$, rechter Grenzwert $0$: Bedingung 2 ist verletzt, der Grenzwert existiert nicht.
• Graph B — hebbare Lücke. Der Grenzwert existiert ($=2$), aber $f(1)$ ist nicht definiert: Bedingung 1 ist verletzt.
• Graph C — Polstelle. $\lvert f(x)\rvert \to \infty$ für $x \to 1$: Bedingungen 1 und 2 sind verletzt, es gibt eine senkrechte Asymptote.

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Lösung 4

Rechter Grenzwert und Funktionswert: $\lim_{x \to 2^+}(x^2 - 3) = 1 = f(2)$.

Linker Grenzwert: $\lim_{x \to 2^-}(ax + 1) = 2a + 1$.

Gleichsetzen:

$$2a + 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 0$$

Für $a = 0$ ist $f$ bei $x_0 = 2$ stetig (der linke Ast ist dann die konstante Funktion $1$).

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Lösung 5

1. Zähler und Nenner werden bei $x = 2$ beide null, also kürzen:

$$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \qquad (x \neq 2)$$

Der Grenzwert $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ existiert, nur der Funktionswert fehlt → hebbare Lücke.

2. Man definiert $f(2) := 4$. Dann ist $f(x) = x + 2$ für alle $x$ und damit überall stetig.

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Lösung 6

Zwei Übergangsstellen, zwei Bedingungen.

Bei $x_0 = 0$:

$$\lim_{x \to 0^-}(x+1) = 1 \quad \overset{!}{=} \quad a \cdot 0^2 + b = b \quad\Longrightarrow\quad b = 1$$

Bei $x_0 = 2$:

$$a \cdot 2^2 + b = 4a + b \quad \overset{!}{=} \quad \lim_{x \to 2^+}(3x - 5) = 1$$

Mit $b = 1$: $4a + 1 = 1 \Rightarrow a = 0$.

$$a = 0, \qquad b = 1$$

Der mittlere Ast ist dann konstant $1$.

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Lösung 7

$$\lim_{x \to (10^6)^-} \left(10^{-6}x + 1\right) = 10^{-6} \cdot 10^{6} + 1 = 1 + 1 = 2$$

$$\lim_{x \to (10^6)^+} 2 = 2, \qquad f(10^6) = 2$$

Alle drei Werte sind $2$ → $f$ ist stetig. Dieselbe Prüfung wie in Aufgabe 1, nur mit unbequemen Zahlen.

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Lösung 8

Mit $x^{n} - 1 = (x-1)\left(x^{n-1} + \cdots + x + 1\right)$:

$$f(x) = \frac{(x-1)\left(x^{49} + x^{48} + \cdots + x + 1\right)}{x-1} = x^{49} + x^{48} + \cdots + x + 1 \qquad (x \neq 1)$$

Der Grenzwert existiert, es liegt eine hebbare Lücke vor. Für $x \to 1$ wird jeder der $50$ Summanden zu $1$:

$$\lim_{x \to 1} f(x) = 50 \quad\Longrightarrow\quad f(1) := 50$$