Symmetrie von Funktionsgraphen

Klasse 11

Grundidee

Man prüft Symmetrie, indem man $-x$ einsetzt und das Ergebnis mit $f(x)$ bzw. $-f(x)$ vergleicht.

Bedingung	Name	Bedeutung
$f(-x) = f(x)$	gerade Funktion	achsensymmetrisch zur $y$-Achse
$f(-x) = -f(x)$	ungerade Funktion	punktsymmetrisch zum Ursprung
keines von beiden	—	keine dieser Symmetrien

Kurzregel für Polynome: gerade $\iff$ alle Exponenten gerade; ungerade $\iff$ alle Exponenten ungerade. Ein konstantes Glied $a_0 = a_0 x^0$ zählt dabei als gerader Exponent.

Vorsicht: „keine Achsen- oder Punktsymmetrie” heißt nicht „unsymmetrisch” — der Graph kann zu einer anderen Achse symmetrisch sein, etwa $f(x) = (x-3)^2$ zur Geraden $x = 3$. Geprüft wird hier nur die Symmetrie zur $y$-Achse bzw. zum Ursprung.

Links gerade (Spiegelung an der y-Achse), rechts ungerade (Drehung um 180° um den Ursprung)

---

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Untersuche rechnerisch auf Symmetrie:

$$f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$$

Aufgabe 2

L

Untersuche rechnerisch auf Symmetrie:

1. $f(x) = x^5 - 4x^3 + x$
2. $g(x) = x^3 + x^2$
3. $h(x) = 2x^6 - x^4 + 5$

Aufgabe 3

L

Ordne jedem der drei Graphen zu: gerade, ungerade oder keines von beiden. Begründe jeweils in einem Satz, woran du es im Bild erkennst.

Aufgabe 4

L

Untersuche auf Symmetrie:

$$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^4 + 2}$$

Aufgabe 5

L

Untersuche auf Symmetrie:

1. $f(x) = x \cdot \sin x$
2. $g(x) = x^2 \cdot \cos x$
3. $h(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ für $x \neq 0$

Aufgabe 6

L

Bestimme alle $a \in \mathbb{R}$, für die die Funktion

$$f(x) = x^4 + a\,x^3 - 2x^2 + (a-1)\,x$$

gerade ist. Gibt es auch ein $a$, für das $f$ ungerade wird?

Aufgabe 7

L

Untersuche auf Symmetrie:

$$f(x) = 7x^{202} - 3x^{100} + x^2 - 9$$

Aufgabe 8

L

Untersuche auf Symmetrie:

$$f(x) = x^{2025} - x^{999} + x$$

---

Lösungen

Lösung 1

$$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$$

$f$ ist gerade, der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. (Kurzregel: Exponenten $4$, $2$, $0$ — alle gerade.)

---

Lösung 2

1. $f(-x) = -x^5 + 4x^3 - x = -(x^5 - 4x^3 + x) = -f(x)$ → ungerade

2. $g(-x) = -x^3 + x^2$. Das ist weder $g(x) = x^3 + x^2$ noch $-g(x) = -x^3 - x^2$ → keine der beiden Symmetrien. (Gemischte Exponenten $3$ und $2$.)

3. $h(-x) = 2x^6 - x^4 + 5 = h(x)$ → gerade (Exponenten $6$, $4$, $0$).

---

Lösung 3

• Graph A: gerade. Die linke Hälfte ist das Spiegelbild der rechten an der $y$-Achse; er schneidet die $y$-Achse in einem Hoch- oder Tiefpunkt.
• Graph B: ungerade. Dreht man den Graphen um $180°$ um den Ursprung, liegt er wieder auf sich selbst; insbesondere geht er durch den Ursprung.
• Graph C: keines von beiden. Weder Spiegelung an der $y$-Achse noch Drehung um den Ursprung führt den Graphen in sich über — er ist nach rechts „verzogen”.

---

Lösung 4

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^4 + 2} = \frac{x^2 - 1}{x^4 + 2} = f(x)$$

$f$ ist gerade. Die Kurzregel gilt hier nicht direkt (es ist kein Polynom), das Einsetzen von $-x$ aber sehr wohl: Zähler und Nenner enthalten nur gerade Potenzen.

---

Lösung 5

1. $f(-x) = (-x)\cdot\sin(-x) = (-x)\cdot(-\sin x) = x\sin x = f(x)$ → gerade

(ungerade $\cdot$ ungerade $=$ gerade)

2. $g(-x) = (-x)^2\cos(-x) = x^2\cos x = g(x)$ → gerade

(gerade $\cdot$ gerade $=$ gerade)

3. $h(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{-x} = \dfrac{-\sin x}{-x} = \dfrac{\sin x}{x} = h(x)$ → gerade

(ungerade $\div$ ungerade $=$ gerade)

---

Lösung 6

$f$ ist ein Polynom mit den Exponenten $4,\,3,\,2,\,1$. Gerade wird $f$ genau dann, wenn alle ungeraden Potenzen verschwinden, also wenn beide zugehörigen Koeffizienten null sind:

$$a = 0 \quad \text{und} \quad a - 1 = 0$$

Diese beiden Bedingungen widersprechen sich ($a = 0$ und $a = 1$). Es gibt also kein $a$, für das $f$ gerade ist.

Ungerade wäre $f$, wenn alle geraden Potenzen verschwänden — aber $x^4$ hat den festen Koeffizienten $1 \neq 0$ und $-2x^2$ den festen Koeffizienten $-2 \neq 0$. Also auch kein $a$ für ungerade.

---

Lösung 7

Alle Exponenten sind gerade: $202$, $100$, $2$ und $0$ (die $-9$). Also:

$$f(-x) = 7x^{202} - 3x^{100} + x^2 - 9 = f(x)$$

$f$ ist gerade. Dieselbe Prüfung wie in Aufgabe 1 — die Größe der Exponenten spielt keine Rolle, nur ihre Parität.

---

Lösung 8

Alle Exponenten sind ungerade: $2025$, $999$, $1$.

$$f(-x) = -x^{2025} + x^{999} - x = -\left(x^{2025} - x^{999} + x\right) = -f(x)$$

$f$ ist ungerade, der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.