Stochastische Unabhängigkeit

Klasse 11

Grundidee

Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert:

$$P_A(B) = P(B)$$

Zum Rechnen benutzt man fast immer die dazu gleichwertige Produktbedingung:

$$\boxed{A,\,B \text{ unabhängig} \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$$

Sie hat zwei Vorteile: Sie ist symmetrisch in $A$ und $B$, und sie funktioniert auch dann, wenn $P(A) = 0$ ist.

Vorgehen: $P(A \cap B)$ bestimmen, $P(A) \cdot P(B)$ ausrechnen, beide Zahlen vergleichen. Bei Gleichheit unabhängig, sonst abhängig.

Nicht verwechseln:

	unabhängig	unvereinbar
Bedingung	$P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$	$P(A \cap B) = 0$
Bedeutung	$A$ verrät nichts über $B$	$A$ und $B$ schließen sich aus
Beispiel	zwei Münzwürfe	„gerade Zahl” und „Augenzahl 5”

Zwei unvereinbare Ereignisse mit $P(A) > 0$ und $P(B) > 0$ sind niemals unabhängig: Tritt $A$ ein, ist $B$ unmöglich, also $P_A(B) = 0 \neq P(B)$.

Unabhängigkeit im Flächenbild: Links liegt die Trennlinie in beiden Streifen auf derselben Höhe — die Aufteilung in B und nicht B ist in A genauso wie außerhalb. Rechts springt sie, also hängen die Ereignisse zusammen.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Gegeben sind $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ und $P(A \cap B) = 0{,}2$.

Prüfe mit der Produktbedingung, ob $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Aufgabe 2

L

Gegeben sind $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}6$ und $P(A \cap B) = 0{,}2$.

1. Sind $A$ und $B$ unabhängig?
2. Berechne $P_A(B)$ und vergleiche mit $P(B)$. Was bedeutet das inhaltlich?

Aufgabe 3

L

Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Es sei $A$ das Ereignis „erster Wurf Kopf” und $B$ das Ereignis „zweiter Wurf Kopf”.

Weise rechnerisch nach, dass $A$ und $B$ unabhängig sind.

Aufgabe 4

L

Eine Urne enthält $3$ rote und $2$ blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Es sei $A$ = „erste Kugel rot” und $B$ = „zweite Kugel rot”.

1. Bestimme $P(A)$, $P(B)$ und $P(A \cap B)$.
2. Sind $A$ und $B$ unabhängig?

Aufgabe 5

L

In den beiden Flächenbildern sind die Wahrscheinlichkeiten der vier Schnittereignisse eingetragen.

1. Bestimme für Bild X die Werte $P(A)$, $P(B)$ und $P(A \cap B)$ und entscheide über Unabhängigkeit.
2. Führe dieselbe Prüfung für Bild Y durch.
3. Woran hättest du das Ergebnis schon ohne Rechnung sehen können?

Aufgabe 6

L

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Es sei $A$ = „gerade Augenzahl” und $B$ = „Augenzahl $5$“.

1. Sind $A$ und $B$ unvereinbar?
2. Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig? Rechne nach.
3. Begründe allgemein: Sind $A$ und $B$ unvereinbar mit $P(A) > 0$ und $P(B) > 0$, so können sie nicht unabhängig sein.

Aufgabe 7

L

In einem Teilchendetektor gilt für zwei Messereignisse

$$P(A) = 10^{-6}, \qquad P(B) = 10^{-3}, \qquad P(A \cap B) = 10^{-9}$$

Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?

Aufgabe 8

L

Ein Observatorium registriert ein sehr seltenes Teilchen ($A$) mit $P(A) = 10^{-6}$. Unabhängig davon schlägt ein Alarm ($B$) in $40\,\%$ aller Messintervalle an. Aus den Daten ergibt sich $P(A \cap B) = 9 \cdot 10^{-7}$.

1. Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?
2. Berechne $P_B(A)$ und vergleiche mit $P(A)$. Ist der Alarm ein brauchbarer Hinweis auf das Teilchen?

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Lösungen

Lösung 1

$$P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B) \quad ✓$$

$A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig.

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Lösung 2

1. $P(A) \cdot P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18 \neq 0{,}2 = P(A \cap B)$

→ abhängig.

2. $P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}3} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$, aber $P(B) = 0{,}6$.

Weiß man, dass $A$ eingetreten ist, steigt die Wahrscheinlichkeit für $B$ von $60\,\%$ auf rund $67\,\%$. $A$ liefert also Information über $B$ — genau das schließt Unabhängigkeit aus.

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Lösung 3

Die vier Ergebnisse KK, KZ, ZK, ZZ sind gleich wahrscheinlich mit je $\tfrac{1}{4}$.

$$P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad P(A \cap B) = P(\text{KK}) = \frac{1}{4}$$

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A \cap B) \quad ✓$$

$A$ und $B$ sind unabhängig — was der Anschauung entspricht: Die Münze hat kein Gedächtnis.

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Lösung 4

1. $P(A) = \dfrac{3}{5}$.

Für $P(B)$ beide Pfade zur zweiten roten Kugel addieren:

$$P(B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

$$P(A \cap B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

2. $$P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0{,}36 \neq 0{,}3 = P(A \cap B)$$

→ abhängig. Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Urne — der zweite Zug „erinnert” sich daran.

Bemerkenswert: $P(B) = P(A) = \tfrac{3}{5}$. Dass die Randwahrscheinlichkeiten gleich sind, hat mit Unabhängigkeit nichts zu tun.

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Lösung 5

1. Bild X: $P(A) = 0{,}18 + 0{,}12 = 0{,}30$, $P(B) = 0{,}18 + 0{,}42 = 0{,}60$, $P(A \cap B) = 0{,}18$.

$$P(A)\cdot P(B) = 0{,}30 \cdot 0{,}60 = 0{,}18 = P(A \cap B) \quad ✓ \;\Rightarrow\; \textbf{unabhängig}$$

2. Bild Y: $P(A) = 0{,}24 + 0{,}06 = 0{,}30$, $P(B) = 0{,}24 + 0{,}35 = 0{,}59$, $P(A \cap B) = 0{,}24$.

$$P(A)\cdot P(B) = 0{,}30 \cdot 0{,}59 = 0{,}177 \neq 0{,}24 \;\Rightarrow\; \textbf{abhängig}$$

3. An der Höhe der Trennlinie: In Bild X verläuft sie in beiden Streifen auf gleicher Höhe, die Aufteilung in $B$ / nicht $B$ ist also links wie rechts dieselbe. In Bild Y springt sie — innerhalb von $A$ ist der $B$-Anteil deutlich größer als außerhalb.

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Lösung 6

1. $A = \{2,4,6\}$ und $B = \{5\}$ haben kein gemeinsames Element, also $A \cap B = \emptyset$ und $P(A \cap B) = 0$. Sie sind unvereinbar.

2. $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, $P(B) = \dfrac{1}{6}$:

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \neq 0 = P(A \cap B)$$

→ abhängig. Unvereinbarkeit ist also gerade nicht Unabhängigkeit.

3. Sind $A$ und $B$ unvereinbar, gilt $P(A \cap B) = 0$. Wären sie zusätzlich unabhängig, müsste

$$P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B) = 0$$

gelten. Ein Produkt zweier Zahlen ist aber nur dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist — Widerspruch zu $P(A) > 0$ und $P(B) > 0$.

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Lösung 7

$$P(A) \cdot P(B) = 10^{-6} \cdot 10^{-3} = 10^{-9} = P(A \cap B) \quad ✓$$

$A$ und $B$ sind unabhängig. Dasselbe Vorgehen wie in Aufgabe 1 — beim Multiplizieren von Zehnerpotenzen werden die Exponenten addiert.

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Lösung 8

1. $$P(A) \cdot P(B) = 10^{-6} \cdot 0{,}4 = 4 \cdot 10^{-7} \neq 9 \cdot 10^{-7} = P(A \cap B)$$

→ abhängig. (Die Formulierung „unabhängig davon” im Aufgabentext ist also durch die Daten widerlegt.)

2. $$P_B(A) = \frac{9 \cdot 10^{-7}}{0{,}4} = 2{,}25 \cdot 10^{-6}$$

Gegenüber $P(A) = 10^{-6}$ ist das eine Steigerung auf mehr als das Doppelte. Als Hinweis taugt der Alarm damit trotzdem kaum: Auch bei Alarm liegt die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen nur bei $2{,}25 \cdot 10^{-6}$, also rund $0{,}000225\,\%$ — im Mittel führt erst etwa jeder $444\,000$-ste Alarm zu einem echten Teilchen.