Die Ableitungsfunktion und höhere Ableitungen

Klasse 11

Grundidee

Berechnet man $f'(x_0)$ nicht nur an einer, sondern an jeder Stelle, so entsteht eine neue Funktion — die Ableitungsfunktion $f'$.

$$f'(x) \quad = \quad \frac{df}{dx} \quad = \quad \dot f(x)$$

Der Graph von $f'$ ist ein „Steigungsprotokoll” von $f$. Man liest ihn so:

Verhalten von $f$	Aussage über $f'$
$f$ steigt auf $I$	$f'(x) > 0$ für alle $x \in I$
$f$ fällt auf $I$	$f'(x) < 0$ für alle $x \in I$
$f$ hat waagrechte Tangente bei $x_0$	$f'(x_0) = 0$
$f$ hat lokales Extremum bei $x_0$	$f'(x_0) = 0$ mit Vorzeichenwechsel

Umgekehrt gilt: Nullstellen von $f'$ liegen genau unter den waagrechten Tangenten von $f$.

Ist $f'$ selbst wieder differenzierbar, kann man erneut ableiten:

$$f''(x) = (f')'(x), \qquad f'''(x) = (f'')'(x), \qquad \ldots, \qquad f^{(n)}(x)$$

Oben f(x) = x³ − 3x, unten die Ableitung f’(x) = 3x² − 3. Wo f eine waagrechte Tangente hat (x = ±1), hat f’ eine Nullstelle.

---

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x$.

Bestimme $f'(x)$, $f''(x)$ und $f'''(x)$.

Aufgabe 2

L

Gegeben ist $f(x) = x^4 - 2x^2$.

1. Bestimme $f'$, $f''$, $f'''$ und $f^{(4)}$.
2. Wie lautet $f^{(5)}$?

Aufgabe 3

L

Der Graph von $f(x) = x^3 - 3x$ ist in der Einführung abgebildet.

Gib jeweils an, für welche $x$ gilt:

1. $f'(x) > 0$
2. $f'(x) < 0$
3. $f'(x) = 0$

Begründe deine Antworten allein mit dem Verlauf des Graphen von $f$ — ohne zu rechnen.

Aufgabe 4

L

Unten ist links der Graph von $f$ abgebildet. Welcher der drei Graphen A, B oder C ist der Graph von $f'$?

Begründe, warum die beiden anderen ausscheiden.

Aufgabe 5

L

Von einer Funktion $f$ ist bekannt:

$$f'(x) = (x - 2)(x + 4)$$

1. An welchen Stellen hat der Graph von $f$ eine waagrechte Tangente?
2. Auf welchen Intervallen steigt bzw. fällt $f$?
3. Bestimme $f''(x)$.

Hinweis zu c): erst ausmultiplizieren.

Aufgabe 6

L

Gegeben ist $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - 6x + 1$.

1. Bestimme $f'$ und $f''$.
2. Bestimme die Nullstellen von $f'$.
3. Bestimme die Nullstelle von $f''$.

Aufgabe 7

L

Gegeben ist $f(x) = x^{100} - 50x^{98}$.

Bestimme $f'(x)$ und $f''(x)$.

Aufgabe 8

L

Gegeben ist $f(x) = x^{5}$.

1. Bestimme nacheinander $f'$, $f''$, $f'''$, $f^{(4)}$, $f^{(5)}$ und $f^{(6)}$.
2. Begründe: Für $g(x) = x^{n}$ ist $g^{(n)}(x)$ eine Konstante und $g^{(n+1)}(x) = 0$.
3. Welchen Wert hat $g^{(n)}$ für $g(x) = x^{100}$? (Nur als Term angeben, nicht ausrechnen.)

---

Lösungen

Lösung 1

$$f'(x) = 3x^2 - 3$$ $$f''(x) = 6x$$ $$f'''(x) = 6$$

---

Lösung 2

1. $$f'(x) = 4x^3 - 4x$$ $$f''(x) = 12x^2 - 4$$ $$f'''(x) = 24x$$ $$f^{(4)}(x) = 24$$

2. $f^{(4)}$ ist konstant, also ist ihre Ableitung null:

$$f^{(5)}(x) = 0$$

---

Lösung 3

Man liest das Steigungsverhalten direkt am Graphen von $f$ ab:

1. $f'(x) > 0$ für $x < -1$ und $x > 1$ — dort steigt der Graph.

2. $f'(x) < 0$ für $-1 < x < 1$ — dort fällt der Graph.

3. $f'(x) = 0$ für $x = -1$ und $x = 1$ — dort hat der Graph eine waagrechte Tangente (Hoch- bzw. Tiefpunkt).

---

Lösung 4

Richtig ist A.

• B scheidet aus: Der Graph von $f$ hat bei $x = -1$ und $x = 1$ waagrechte Tangenten, also muss $f'$ dort Nullstellen haben. $B$ liegt aber vollständig oberhalb der $x$-Achse und hat gar keine Nullstelle.
• C scheidet aus: $C$ hat zwar die richtigen Nullstellen $\pm 1$, aber die falschen Vorzeichen. Zwischen $-1$ und $1$ fällt $f$, dort müsste $f' < 0$ sein — $C$ ist dort positiv. Außerhalb steigt $f$, dort müsste $f' > 0$ sein — $C$ ist dort negativ.
• A passt: Nullstellen bei $\pm 1$, negativ dazwischen, positiv außerhalb. Tatsächlich ist $f'(x) = 3x^2 - 3$.

---

Lösung 5

1. Waagrechte Tangente heißt $f'(x) = 0$:

$$(x-2)(x+4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 2, \quad x_2 = -4$$

2. $f'$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen $-4$ und $2$, also:

• $f'(x) > 0$ für $x < -4$ und $x > 2$ → $f$ steigt
• $f'(x) < 0$ für $-4 < x < 2$ → $f$ fällt

3. Erst ausmultiplizieren, dann ableiten:

$$f'(x) = x^2 + 2x - 8 \quad\Longrightarrow\quad f''(x) = 2x + 2$$

---

Lösung 6

1. $$f'(x) = x^2 - x - 6, \qquad f''(x) = 2x - 1$$

2. $x^2 - x - 6 = 0$. Mit der Mitternachtsformel:

$$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$

$$x_1 = 3, \qquad x_2 = -2$$

(Probe durch Faktorisieren: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ ✓)

3. $$2x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

---

Lösung 7

Gliedweise mit Potenz- und Faktorregel:

$$f'(x) = 100x^{99} - 50 \cdot 98\,x^{97} = 100x^{99} - 4900x^{97}$$

$$f''(x) = 100 \cdot 99\,x^{98} - 4900 \cdot 97\,x^{96} = 9900x^{98} - 475300x^{96}$$

Genau dasselbe Vorgehen wie in Aufgabe 1 — nur die Exponenten sind groß.

---

Lösung 8

1. $$f'(x) = 5x^4, \quad f''(x) = 20x^3, \quad f'''(x) = 60x^2$$ $$f^{(4)}(x) = 120x, \quad f^{(5)}(x) = 120, \quad f^{(6)}(x) = 0$$

2. Bei jedem Ableiten sinkt der Exponent um $1$ und der bisherige Exponent tritt als Faktor davor. Nach $n$ Schritten ist der Exponent auf $0$ gefallen, übrig bleibt das Produkt aller herausgezogenen Faktoren:

$$g^{(n)}(x) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1 = n!$$

Das ist eine Konstante, und die Ableitung einer Konstanten ist null: $g^{(n+1)}(x) = 0$.

3. $$g^{(100)}(x) = 100!$$

Zur Kontrolle mit a): für $n = 5$ ergibt sich $5! = 120$ ✓