Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen

Klasse 11

Grundidee

Statt jedes Mal den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden, genügen für Polynome drei Regeln:

Regel	Formel	Beispiel
Potenzregel	$\left(x^n\right)' = n \cdot x^{\,n-1}$	$\left(x^4\right)' = 4x^3$
Faktorregel	$\left(c \cdot f\right)' = c \cdot f'$	$\left(5x^3\right)' = 15x^2$
Summenregel	$\left(f + g\right)' = f' + g'$	gliedweise ableiten

Merkregel zur Potenzregel: Exponent als Faktor nach vorn ziehen, Exponent um $1$ verringern. Insbesondere ist $\left(x\right)' = 1$ und $\left(c\right)' = 0$ — konstante Glieder fallen weg.

Vorgehen:

1. Term erst auf Polynomform bringen: Klammern ausmultiplizieren, Brüche kürzen
2. jeden Summanden einzeln mit Potenz- und Faktorregel ableiten
3. zusammenfassen

Hinweis

Schritt 1 ist nicht optional. Ein Produkt $g(x) \cdot h(x)$ darf nicht faktorweise abgeleitet werden — es gilt im Allgemeinen $(g \cdot h)' \neq g' \cdot h'$. Probe an $f(x) = x \cdot x = x^2$: richtig ist $f'(x) = 2x$, faktorweise käme fälschlich $1 \cdot 1 = 1$ heraus.

Warum man erst kürzt: f(x) = (2x³ − 4x)/x stimmt überall mit 2x² − 4 überein, nur an der Stelle x = 0 fehlt der Punkt. Die Ableitung f’(x) = 4x gilt für alle x ≠ 0.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Bestimme $f'(x)$ für

$$f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$$

Aufgabe 2

L

Bestimme jeweils die Ableitung:

1. $f(x) = \dfrac{1}{2}x^4 - 3x^2 + 1$
2. $g(x) = -x^5 + 4x^3 - x + 9$
3. $h(x) = 7$

Aufgabe 3

L

Bestimme $f'(x)$ für

$$f(x) = (x + 2)^2$$

Multipliziere zuerst aus.

Aufgabe 4

L

Bestimme $f'(x)$ für

$$f(x) = (2x - 1)(x + 3)$$

Überprüfe zusätzlich: Was käme heraus, wenn man (fälschlich) beide Faktoren einzeln ableiten und multiplizieren würde?

Aufgabe 5

L

Bestimme $f'(x)$ und $f''(x)$ für

$$f(x) = (x - 1)^3$$

Aufgabe 6

L

Gegeben ist

$$f(x) = \frac{2x^3 - 4x}{x}, \qquad x \neq 0$$

1. Vereinfache den Term.
2. Bestimme $f'(x)$.
3. Gib die Definitionsmenge von $f$ und von $f'$ an.

Aufgabe 7

L

Bestimme $f'(x)$ für

$$f(x) = 10^{6}\,x^{50} - 10^{-6}\,x^{10} + 10^{9}$$

Aufgabe 8

L

Bestimme $f'(x)$ für

$$f(x) = \frac{x^{100} - x^{50}}{x^{49}}, \qquad x \neq 0$$

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Lösungen

Lösung 1

Gliedweise mit Potenz- und Faktorregel:

$$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 + 5 = 12x^3 - 6x^2 + 5$$

Die Konstante $-7$ fällt weg.

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Lösung 2

1. $$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x = 2x^3 - 6x$$

2. $$g'(x) = -5x^4 + 12x^2 - 1$$

3. $h$ ist konstant, also

$$h'(x) = 0$$

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Lösung 3

Erst ausmultiplizieren:

$$f(x) = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$$

$$f'(x) = 2x + 4$$

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Lösung 4

Ausmultiplizieren:

$$f(x) = (2x-1)(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$$

$$f'(x) = 4x + 5$$

Faktorweises Ableiten ergäbe $(2x-1)' \cdot (x+3)' = 2 \cdot 1 = 2$ — also eine Konstante statt der linearen Funktion $4x+5$. Das ist falsch; ein Produkt darf nicht faktorweise abgeleitet werden.

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Lösung 5

Erst ausmultiplizieren (binomische Formel für den Kubus):

$$f(x) = (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$$

$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3$$

$$f''(x) = 6x - 6$$

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Lösung 6

1. Jeden Summanden einzeln durch $x$ teilen:

$$f(x) = \frac{2x^3}{x} - \frac{4x}{x} = 2x^2 - 4 \qquad (x \neq 0)$$

2. $$f'(x) = 4x$$

3. $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ und ebenso $D_{f'} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Der gekürzte Term $2x^2 - 4$ wäre zwar auch bei $x = 0$ definiert — die ursprüngliche Funktion $f$ ist es aber nicht, und daran ändert das Kürzen nichts.

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Lösung 7

Die Größe der Koeffizienten spielt keine Rolle, es gilt dieselbe Rechnung wie in Aufgabe 1:

$$f'(x) = 10^{6} \cdot 50\,x^{49} - 10^{-6} \cdot 10\,x^{9} = 5 \cdot 10^{7}\,x^{49} - 10^{-5}\,x^{9}$$

Die Konstante $10^{9}$ fällt weg.

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Lösung 8

Erst kürzen — jeder Summand des Zählers wird durch $x^{49}$ geteilt (Potenzgesetz: Exponenten subtrahieren):

$$f(x) = \frac{x^{100}}{x^{49}} - \frac{x^{50}}{x^{49}} = x^{51} - x \qquad (x \neq 0)$$

Jetzt gliedweise ableiten:

$$f'(x) = 51x^{50} - 1$$

Dasselbe Vorgehen wie in Aufgabe 6: erst vereinfachen, dann ableiten.