Änderungsrate: vom Differenzenquotienten zur Ableitung

Klasse 11

Grundidee

Die durchschnittliche Änderungsrate von $f$ zwischen $x_1$ und $x_2$ ist der Differenzenquotient

$$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \qquad\text{bzw. mit Schrittweite } h:\qquad \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Geometrisch ist das die Steigung der Sekante durch die Punkte $P\bigl(x_0 \mid f(x_0)\bigr)$ und $Q\bigl(x_0+h \mid f(x_0+h)\bigr)$. In Sachaufgaben trägt er stets eine Einheit (z.B. $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $\tfrac{\text{°C}}{\text{h}}$).

Lässt man $Q$ auf $P$ zuwandern ($h \to 0$), so dreht sich die Sekante in die Tangente. Ihr Grenzwert heißt Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$:

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Vorgehen beim Berechnen über den Grenzwert:

1. $f(x_0 + h)$ aufstellen und ausmultiplizieren
2. $f(x_0)$ abziehen — die konstanten Glieder heben sich weg
3. durch $h$ kürzen (jetzt geht es, weil jeder Summand ein $h$ enthält)
4. $h = 0$ einsetzen

Sekanten durch P(1|1) für h = 2, 1, 0,5 und 0,2. Je kleiner h, desto näher liegt die Sekantensteigung bei der Tangentensteigung f’(1) = 2.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Gegeben ist $f(x) = x^2$.

1. Berechne die durchschnittliche Änderungsrate von $f$ zwischen $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$.
2. Was bedeutet dieser Wert geometrisch?

Aufgabe 2

L

1. Eine Pflanze ist nach $2$ Wochen $8\,\text{cm}$ hoch, nach $6$ Wochen $20\,\text{cm}$. Bestimme die mittlere Wachstumsrate mit Einheit.

2. Der Wasserstand eines Beckens (in Metern) nach $t$ Stunden ist

$$h(t) = -0{,}5\,t^2 + 4t$$

Berechne die mittlere Änderungsrate zwischen $t = 1$ und $t = 3$ und gib die Einheit an.

Aufgabe 3

L

Gegeben ist $f(x) = x^2$ und die Stelle $x_0 = 2$.

1. Stelle den Differenzenquotienten mit allgemeiner Schrittweite $h$ auf und vereinfache ihn so weit wie möglich.
2. Bestimme daraus $f'(2)$.

Aufgabe 4

L

Berechne $f'(1)$ über den Grenzwert des Differenzenquotienten für

$$f(x) = x^2 - 3x$$

Aufgabe 5

L

Gegeben ist $f(x) = x^3$.

Bestimme $f'(x_0)$ für eine beliebige Stelle $x_0$ über den Grenzwert des Differenzenquotienten.

Hinweis: $(x_0+h)^3 = x_0^3 + 3x_0^2 h + 3x_0 h^2 + h^3$.

Aufgabe 6

L

Begründe jeweils, warum die Funktion an der angegebenen Stelle nicht differenzierbar ist:

1. $f(x) = \lvert x \rvert$ bei $x_0 = 0$
2. $g(x) = \dfrac{1}{x}$ bei $x_0 = 0$
3. $h(x) = \sqrt[3]{x}$ bei $x_0 = 0$

Aufgabe 7

L

Gegeben ist $f(x) = 10^{-6}\,x^2$.

Berechne die durchschnittliche Änderungsrate zwischen $x_1 = 10^{6}$ und $x_2 = 2 \cdot 10^{6}$.

Aufgabe 8

L

Berechne $f'(0)$ über den Grenzwert des Differenzenquotienten für

$$f(x) = 10^{9}\,x^2 - 10^{12}\,x + 10^{15}$$

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Lösungen

Lösung 1

1. $f(1) = 1$, $f(3) = 9$:

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

2. Der Wert $4$ ist die Steigung der Sekante durch die Punkte $P(1 \mid 1)$ und $Q(3 \mid 9)$ auf dem Graphen von $f$.

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Lösung 2

1. $$\frac{20 - 8}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3 \;\frac{\text{cm}}{\text{Woche}}$$

2. $h(1) = -0{,}5 + 4 = 3{,}5$ und $h(3) = -4{,}5 + 12 = 7{,}5$:

$$\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1} = \frac{7{,}5 - 3{,}5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \;\frac{\text{m}}{\text{h}}$$

Der Wasserstand stieg in diesem Zeitraum im Mittel um $2$ Meter pro Stunde.

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Lösung 3

1. $$\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h$$

Die konstanten Glieder $4$ heben sich weg — deshalb lässt sich durch $h$ kürzen.

2. $$f'(2) = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$$

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Lösung 4

$f(1) = 1 - 3 = -2$ und

$$f(1+h) = (1+h)^2 - 3(1+h) = 1 + 2h + h^2 - 3 - 3h = h^2 - h - 2$$

Damit:

$$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{h^2 - h - 2 - (-2)}{h} = \frac{h^2 - h}{h} = h - 1$$

$$f'(1) = \lim_{h \to 0} (h - 1) = -1$$

Die Tangente in $P(1 \mid -2)$ fällt also mit der Steigung $-1$.

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Lösung 5

$$\frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h} = \frac{x_0^3 + 3x_0^2 h + 3x_0 h^2 + h^3 - x_0^3}{h} = \frac{3x_0^2 h + 3x_0 h^2 + h^3}{h}$$

Nach dem Kürzen durch $h$:

$$= 3x_0^2 + 3x_0 h + h^2$$

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left(3x_0^2 + 3x_0 h + h^2\right) = 3x_0^2$$

Also $f'(x) = 3x^2$ — das ist genau die Potenzregel für $n = 3$.

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Lösung 6

1. Knickstelle. Für $h > 0$ ist der Differenzenquotient $\frac{|h| - 0}{h} = \frac{h}{h} = 1$, für $h < 0$ dagegen $\frac{-h}{h} = -1$. Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind verschieden, der Grenzwert existiert nicht.

2. Polstelle. $g$ ist an der Stelle $x_0 = 0$ gar nicht definiert — schon die erste Voraussetzung fehlt.

3. Senkrechte Tangente. Der Differenzenquotient $\frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{-2/3}$ wächst für $h \to 0$ über alle Grenzen. Die Tangente steht senkrecht, eine endliche Steigung gibt es nicht.

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Lösung 7

$$f\!\left(10^{6}\right) = 10^{-6} \cdot 10^{12} = 10^{6}, \qquad f\!\left(2 \cdot 10^{6}\right) = 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^{12} = 4 \cdot 10^{6}$$

$$\frac{4 \cdot 10^{6} - 10^{6}}{2 \cdot 10^{6} - 10^{6}} = \frac{3 \cdot 10^{6}}{10^{6}} = 3$$

Trotz der unhandlichen Zahlen genau dasselbe Vorgehen wie in Aufgabe 1 — und das Ergebnis ist eine glatte $3$.

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Lösung 8

$f(0) = 10^{15}$ und

$$f(h) = 10^{9} h^2 - 10^{12} h + 10^{15}$$

Damit fällt der Riesensummand $10^{15}$ heraus:

$$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{10^{9} h^2 - 10^{12} h}{h} = 10^{9} h - 10^{12}$$

$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \left(10^{9} h - 10^{12}\right) = -10^{12}$$

Dieselben vier Schritte wie in Aufgabe 3: einsetzen, subtrahieren, kürzen, $h = 0$ setzen.