Krümmung und Wendestellen

Klasse 11

Grundidee

Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die Steigung $f'$ selbst ändert — also die Wölbung der Kurve.

Bedingung	Krümmung	Anschauung
$f''(x) > 0$	Linkskrümmung (konvex)	nach oben geöffnet
$f''(x) < 0$	Rechtskrümmung (konkav)	nach unten geöffnet

Wendestelle. An einer Stelle $x_0$, an der die Krümmung wechselt, liegt eine Wendestelle; der Punkt $W(x_0 \mid f(x_0))$ heißt Wendepunkt.

• Notwendig: $f''(x_0) = 0$
• Hinreichend: $f''$ wechselt bei $x_0$ das Vorzeichen

Wie bei den Extremstellen ist $f''(x_0) = 0$ allein zu wenig: bei $f(x) = x^4$ ist $f''(0) = 0$, aber $f''(x) = 12x^2 \geq 0$ wechselt das Vorzeichen nicht — kein Wendepunkt.

Sattelpunkt (Terrassenpunkt). Gilt an einer Wendestelle zusätzlich $f'(x_0) = 0$, so ist die Tangente dort waagrecht. Der Wendepunkt heißt dann Sattelpunkt — ein Extremum ist es nicht.

Deutung im Sachkontext. Am Wendepunkt nimmt $f'$ seinen größten (oder kleinsten) Wert an: dort wächst $f$ am schnellsten bzw. am langsamsten. In Wachstumsmodellen ist das die Stelle der stärksten Zunahme.

f(x) = x³ − 3x: rechtsgekrümmt für x < 0, linksgekrümmt für x > 0, Wendepunkt W(0|0)

---

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Bestimme das Krümmungsverhalten und alle Wendepunkte von

$$f(x) = x^3 - 3x$$

Aufgabe 2

L

Bestimme Krümmungsverhalten und Wendepunkte von

$$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$$

Aufgabe 3

L

Der Graph zeigt eine ganzrationale Funktion $f$ vom Grad 3.

1. Lies ab, auf welchen Intervallen $f$ rechts- bzw. linksgekrümmt ist.
2. Gib die Wendestelle an.
3. An welcher der drei markierten Stellen $A$, $B$, $C$ ist die Steigung von $f$ am kleinsten? Begründe.

Aufgabe 4

L

Bestimme alle Wendepunkte von

$$f(x) = x^4 - 8x^2$$

Aufgabe 5

L

Untersuche jeweils auf Wendestellen:

1. $f(x) = x^4$
2. $g(x) = (x-1)^3$

Welcher besondere Punkt liegt bei $g$ vor?

Aufgabe 6

L

Die Anzahl der Bakterien in einer Kultur wird für $0 \leq t \leq 6$ (in Stunden) modelliert durch

$$N(t) = -t^3 + 6t^2 \qquad (\text{in Millionen})$$

1. Zu welchem Zeitpunkt wächst die Kultur am schnellsten?
2. Wie groß ist die Wachstumsrate zu diesem Zeitpunkt?
3. Wie viele Bakterien gibt es dann?

Aufgabe 7

L

Untersuche auf Wendestellen:

$$f(x) = x^{102}$$

Aufgabe 8

L

Bestimme Krümmungsverhalten und Wendepunkt von

$$f(x) = 10^{-3}\,x^3 - 3x^2$$

---

Lösungen

Lösung 1

$$f'(x) = 3x^2 - 3, \qquad f''(x) = 6x$$

Notwendige Bedingung: $6x = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.

Intervall	Probewert	$f''$	Krümmung
$(-\infty,\,0)$	$f''(-1) = -6$	$-$	rechtsgekrümmt
$(0,\,+\infty)$	$f''(1) = 6$	$+$	linksgekrümmt

Vorzeichenwechsel ✓ → Wendestelle bei $x_0 = 0$, $f(0) = 0$:

$$W(0 \mid 0)$$

Wegen $f'(0) = -3 \neq 0$ ist es kein Sattelpunkt.

---

Lösung 2

$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9, \qquad f''(x) = 6x - 12$$

$f''(x) = 0 \Rightarrow x_0 = 2$.

Intervall	Probewert	$f''$	Krümmung
$(-\infty,\,2)$	$f''(0) = -12$	$-$	rechtsgekrümmt
$(2,\,+\infty)$	$f''(3) = 6$	$+$	linksgekrümmt

$$f(2) = 8 - 24 + 18 = 2 \quad\Longrightarrow\quad W(2 \mid 2)$$

---

Lösung 3

1. Links von $x = 2$ ist der Graph nach unten gewölbt → rechtsgekrümmt auf $(-\infty,\,2)$. Rechts davon ist er nach oben gewölbt → linksgekrümmt auf $(2,\,+\infty)$.

2. Der Krümmungswechsel liegt bei $x = 2$, also ist $x = 2$ die Wendestelle (Punkt $B$, hier $W(2 \mid 2)$).

3. An der Wendestelle $B$. Zwischen den beiden waagrechten Tangenten bei $A$ und $C$ fällt der Graph; am steilsten fällt er genau in der Mitte, im Wendepunkt. Dort nimmt $f'$ seinen kleinsten Wert an. In $A$ und $C$ ist die Tangente waagrecht, also $f' = 0$ — beide Werte sind größer als der negative Wert in $B$.

(Rechnerisch: $f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$, gegenüber $f'(1) = f'(3) = 0$.)

---

Lösung 4

$$f'(x) = 4x^3 - 16x, \qquad f''(x) = 12x^2 - 16$$

$$12x^2 - 16 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = \frac{4}{3} \;\Rightarrow\; x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1{,}155$$

$f''$ ist eine nach oben geöffnete Parabel — zwischen den Nullstellen negativ, außerhalb positiv. Also Vorzeichenwechsel an beiden Stellen ✓

$$f\!\left(\pm\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right) = \left(\tfrac{4}{3}\right)^2 - 8 \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{16}{9} - \tfrac{96}{9} = -\tfrac{80}{9} \approx -8{,}89$$

$$W_1\!\left(-\tfrac{2\sqrt{3}}{3} \,\middle|\, -\tfrac{80}{9}\right), \qquad W_2\!\left(\tfrac{2\sqrt{3}}{3} \,\middle|\, -\tfrac{80}{9}\right)$$

---

Lösung 5

1. $f'(x) = 4x^3$, $f''(x) = 12x^2$.

$f''(x) = 0$ nur bei $x_0 = 0$. Aber $12x^2 \geq 0$ für alle $x$ — kein Vorzeichenwechsel. Also hat $f(x) = x^4$ keine Wendestelle; der Graph ist überall linksgekrümmt.

2. $g(x) = (x-1)^3$, ausmultipliziert $g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

$$g'(x) = 3(x-1)^2, \qquad g''(x) = 6(x-1)$$

$g''(x) = 0 \Rightarrow x_0 = 1$, mit Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ ✓ → Wendestelle.

Zusätzlich ist $g'(1) = 0$: die Tangente ist dort waagrecht. Es liegt also ein Sattelpunkt vor:

$$S(1 \mid 0)$$

Ein Extremum ist das nicht — $g$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ streng monoton steigend.

---

Lösung 6

1. Am schnellsten wächst $N$ dort, wo die Wachstumsrate $N'$ maximal ist — das ist die Wendestelle.

$$N'(t) = -3t^2 + 12t, \qquad N''(t) = -6t + 12$$

$$N''(t) = 0 \;\Rightarrow\; t = 2$$

Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ (aus Linkskrümmung wird Rechtskrümmung) ✓ → Wendestelle bei $t = 2$.

Nach 2 Stunden wächst die Kultur am schnellsten.

2. $N'(2) = -3 \cdot 4 + 24 = 12$ — die Wachstumsrate beträgt $12$ Millionen Bakterien pro Stunde.

3. $N(2) = -8 + 24 = 16$ — es sind dann $16$ Millionen Bakterien vorhanden. Der Wendepunkt ist $W(2 \mid 16)$.

---

Lösung 7

$$f'(x) = 102\,x^{101}, \qquad f''(x) = 102 \cdot 101\,x^{100} = 10\,302\,x^{100}$$

$f''(x) = 0$ nur bei $x_0 = 0$. Der Exponent $100$ ist gerade, also gilt $x^{100} \geq 0$ für alle $x$ und damit $f''(x) \geq 0$ — kein Vorzeichenwechsel.

$f$ hat keine Wendestelle und ist überall linksgekrümmt. Genau dieselbe Situation wie bei $x^4$ in Aufgabe 5a), nur mit größeren Exponenten.

---

Lösung 8

$$f'(x) = 3 \cdot 10^{-3}\,x^2 - 6x, \qquad f''(x) = 6 \cdot 10^{-3}\,x - 6$$

$$6 \cdot 10^{-3}\,x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = \frac{6}{6 \cdot 10^{-3}} = 1000$$

Intervall	Probewert	$f''$	Krümmung
$(-\infty,\,1000)$	$f''(0) = -6$	$-$	rechtsgekrümmt
$(1000,\,+\infty)$	$f''(2000) = 6$	$+$	linksgekrümmt

Vorzeichenwechsel ✓

$$f(1000) = 10^{-3} \cdot 10^{9} - 3 \cdot 10^{6} = 10^{6} - 3 \cdot 10^{6} = -2 \cdot 10^{6}$$

$$W\bigl(1000 \mid -2\,000\,000\bigr)$$

Dasselbe Vorgehen wie in Aufgabe 2; nur liegt der Wendepunkt sehr weit außen und sehr tief.