Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

Klasse 11

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch für

$$f(x) = x^3 - 3x$$

Aufgabe 2

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch für

$$f(x) = x^4 - 4x^2$$

Aufgabe 3

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch für

$$f(x) = -x^3 + 3x^2$$

Aufgabe 4

L

Gegeben ist $f(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 5$.

Bestimme Extrempunkte, Wendepunkt und Grenzverhalten. (Die Nullstellen sind hier nicht exakt bestimmbar — lass sie weg.)

Aufgabe 5

L

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion $f$ vom Grad $3$, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und den Hochpunkt $HP(-1 \mid 2)$ besitzt.

Bestimme den Funktionsterm.

Aufgabe 6

L

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f(x) = x^4 - 4x^2$. Drei Sorten von Punkten sind markiert: grün umrandet, rot und orange.

Graph von f(x) = x⁴ − 4x² mit drei Sorten markierter Punkte

1. Welche Sorte markiert Nullstellen, welche Extrempunkte, welche Wendepunkte? Begründe aus dem Kurvenverlauf.
2. Bestimme die Nullstellen rechnerisch.
3. Bestimme die Extrempunkte rechnerisch und gib ihre Art an.
4. Ein Punkt trägt zwei Markierungen zugleich. Welcher ist das, und warum?

Aufgabe 7

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch für

$$f(x) = 10^{-4}\,x^4 - 2x^2$$

Aufgabe 8

L

Untersuche $f(x) = x^{100} - 100x$ auf Symmetrie, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und Grenzverhalten.

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Lösungen

Lösung 1

1. Definitionsmenge: $D = \mathbb{R}$

2. Symmetrie: Exponenten $3$ und $1$ — alle ungerade → $f(-x) = -f(x)$, punktsymmetrisch zum Ursprung.

3. Nullstellen: $x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1{,}73$

4. Extrempunkte: $f'(x) = 3x^2 - 3$, $f''(x) = 6x$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.

• $f''(-1) = -6 < 0$ → $HP(-1 \mid 2)$
• $f''(1) = 6 > 0$ → $TP(1 \mid -2)$

5. Wendepunkte: $f''(x) = 6x = 0 \Rightarrow x = 0$, Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ ✓ → $W(0 \mid 0)$

6. Grenzverhalten: Leitterm $x^3$, Grad ungerade, positiv:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$

7. Graph: steigt bis $HP(-1\mid 2)$, fällt durch $W(0\mid 0)$ bis $TP(1 \mid -2)$, steigt dann wieder.

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Lösung 2

1. $D = \mathbb{R}$

2. Symmetrie: Exponenten $4$ und $2$ — alle gerade → achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

3. Nullstellen: $x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4) = x^2(x-2)(x+2) = 0$

$x_1 = 0$ (doppelt), $x_2 = 2$, $x_3 = -2$

4. Extrempunkte: $f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$, $f''(x) = 12x^2 - 8$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ oder $x = \pm\sqrt{2}$.

• $f''(0) = -8 < 0$ → $HP(0 \mid 0)$
• $f''(\pm\sqrt{2}) = 24 - 8 = 16 > 0$ → $TP(-\sqrt{2} \mid -4)$ und $TP(\sqrt{2} \mid -4)$

5. Wendepunkte: $12x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = \tfrac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \pm\tfrac{\sqrt{6}}{3} \approx \pm 0{,}82$

$f''$ ist eine nach oben geöffnete Parabel → Vorzeichenwechsel an beiden Stellen ✓

$$f\!\left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) = \tfrac{4}{9} - \tfrac{8}{3} = -\tfrac{20}{9} \approx -2{,}22$$

$$W_1\!\left(-\tfrac{\sqrt{6}}{3} \,\middle|\, -\tfrac{20}{9}\right), \qquad W_2\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{3} \,\middle|\, -\tfrac{20}{9}\right)$$

6. Grenzverhalten: Leitterm $x^4$, Grad gerade, positiv → $+\infty$ für $x \to \pm\infty$.

7. Der Graph ist die typische „W-Form” mit zwei Tiefpunkten und einem Hochpunkt dazwischen (siehe Bild oben).

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Lösung 3

1. $D = \mathbb{R}$

2. Symmetrie: Exponenten $3$ und $2$ — gemischt → keine der beiden Symmetrien.

3. Nullstellen: $-x^3 + 3x^2 = x^2(-x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ (doppelt), $x_2 = 3$

4. Extrempunkte: $f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$, $f''(x) = -6x + 6$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ oder $x = 2$.

• $f''(0) = 6 > 0$ → $TP(0 \mid 0)$
• $f''(2) = -6 < 0$ → $HP(2 \mid 4)$

5. Wendepunkt: $-6x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1$, Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ ✓

$f(1) = -1 + 3 = 2 \Rightarrow W(1 \mid 2)$

6. Grenzverhalten: Leitterm $-x^3$, Grad ungerade, negativ:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$$

7. Der Graph kommt von oben links, hat bei $x=0$ einen Tiefpunkt (zugleich doppelte Nullstelle — er berührt dort die $x$-Achse), steigt zum $HP(2\mid4)$ und fällt dann durch $x=3$ nach unten.

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Lösung 4

$$f'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1), \qquad f''(x) = 2x - 2$$

Extrempunkte: $f'(x) = 0 \Rightarrow x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

• $f''(-1) = -4 < 0$ → Maximum. $f(-1) = -\tfrac{1}{3} - 1 + 3 + 5 = \tfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ → $HP\!\left(-1 \,\middle|\, \tfrac{20}{3}\right)$
• $f''(3) = 4 > 0$ → Minimum. $f(3) = 9 - 9 - 9 + 5 = -4$ → $TP(3 \mid -4)$

Wendepunkt: $2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$, Vorzeichenwechsel ✓

$$f(1) = \tfrac{1}{3} - 1 - 3 + 5 = \tfrac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad W\!\left(1 \,\middle|\, \tfrac{4}{3}\right)$$

Grenzverhalten: Leitterm $\tfrac{1}{3}x^3$, ungerader Grad, positiv → $+\infty$ rechts, $-\infty$ links.

Beachte: Der Wendepunkt liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Extremstellen ($\tfrac{-1+3}{2} = 1$) — bei Funktionen dritten Grades ist das immer so.

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Lösung 5

Punktsymmetrie zum Ursprung bei Grad $3$ bedeutet: nur ungerade Exponenten, also

$$f(x) = a\,x^3 + b\,x$$

Zwei Bedingungen aus dem Hochpunkt $HP(-1 \mid 2)$:

1. Waagrechte Tangente: $f'(-1) = 0$ mit $f'(x) = 3a x^2 + b$: $$3a + b = 0$$

2. Der Punkt liegt auf dem Graphen: $f(-1) = 2$: $$-a - b = 2$$

Aus (1): $b = -3a$. Einsetzen in (2):

$$-a + 3a = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2a = 2 \quad\Longrightarrow\quad a = 1, \quad b = -3$$

$$f(x) = x^3 - 3x$$

Probe: $f'(x) = 3x^2 - 3$, $f'(-1) = 0$ ✓, $f(-1) = -1 + 3 = 2$ ✓, $f''(-1) = -6 < 0$ → tatsächlich ein Hochpunkt ✓

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Lösung 6

1. Grün umrandet liegen auf der $x$-Achse → Nullstellen. Rot markiert die beiden Tiefpunkte und den Hochpunkt in der Mitte, also die Extrempunkte (waagrechte Tangente). Orange liegt dort, wo der Graph von Rechts- auf Linkskrümmung wechselt → Wendepunkte.

2. $$f(x) = x^4 - 4x^2 = x^2\left(x^2 - 4\right) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \text{ (doppelt)},\; x = \pm 2$$

3. $$f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x\left(x^2 - 2\right) \;\Longrightarrow\; x = 0,\; x = \pm\sqrt{2}$$

$$f''(x) = 12x^2 - 8$$

Stelle	$f''$	Art	Punkt
$x = -\sqrt{2}$	$24 - 8 = 16 > 0$	Minimum	$TP\left(-\sqrt{2} \mid -4\right)$
$x = 0$	$-8 < 0$	Maximum	$HP(0 \mid 0)$
$x = \sqrt{2}$	$16 > 0$	Minimum	$TP\left(\sqrt{2} \mid -4\right)$

4. Der Ursprung $(0 \mid 0)$ ist zugleich Nullstelle und Hochpunkt. Das liegt an der doppelten Nullstelle bei $x = 0$: Der Graph berührt die $x$-Achse dort nur, statt sie zu schneiden — und eine Berührung der Achse mit waagrechter Tangente ist genau ein Extrempunkt auf der Achse.

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Lösung 7

1. $D = \mathbb{R}$

2. Symmetrie: Exponenten $4$ und $2$ — beide gerade → achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

3. Nullstellen: $x^2\left(10^{-4}x^2 - 2\right) = 0$

$x_1 = 0$ (doppelt) oder $x^2 = \dfrac{2}{10^{-4}} = 20\,000 \Rightarrow x = \pm 100\sqrt{2} \approx \pm 141{,}4$

4. Extrempunkte: $f'(x) = 4 \cdot 10^{-4}x^3 - 4x = 4x\left(10^{-4}x^2 - 1\right)$, $f''(x) = 12 \cdot 10^{-4}x^2 - 4$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ oder $x^2 = 10^{4} \Rightarrow x = \pm 100$.

• $f''(0) = -4 < 0$ → $HP(0 \mid 0)$
• $f''(\pm 100) = 12 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{4} - 4 = 12 - 4 = 8 > 0$

$f(100) = 10^{-4} \cdot 10^{8} - 2 \cdot 10^{4} = 10^{4} - 2 \cdot 10^{4} = -10^{4}$

$$TP(-100 \mid -10\,000), \qquad TP(100 \mid -10\,000)$$

5. Wendepunkte: $12 \cdot 10^{-4}x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \dfrac{10^{4}}{3} \Rightarrow x = \pm\dfrac{100}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{100\sqrt{3}}{3} \approx \pm 57{,}7$

$$f\!\left(\pm\tfrac{100}{\sqrt{3}}\right) = 10^{-4}\cdot\frac{10^{8}}{9} - 2 \cdot \frac{10^{4}}{3} = \frac{10^{4}}{9} - \frac{6 \cdot 10^{4}}{9} = -\frac{5 \cdot 10^{4}}{9} \approx -5555{,}6$$

6. Grenzverhalten: Leitterm $10^{-4}x^4$, gerader Grad, positiver Koeffizient → $+\infty$ für $x \to \pm\infty$.

7. Dieselbe „W-Form” wie in Aufgabe 2 — nur um den Faktor $\approx 70$ in $x$-Richtung gestreckt.

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Lösung 8

Symmetrie: Exponenten $100$ (gerade) und $1$ (ungerade) — gemischt → keine Symmetrie.

Nullstellen: $x^{100} - 100x = x\left(x^{99} - 100\right) = 0$

$x_1 = 0$ oder $x^{99} = 100 \Rightarrow x_2 = \sqrt[99]{100} \approx 1{,}048$ (der Exponent $99$ ist ungerade, also genau eine reelle Lösung).

Extrempunkte: $f'(x) = 100x^{99} - 100 = 100\left(x^{99} - 1\right)$, $f''(x) = 9900\,x^{98}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x^{99} = 1 \Rightarrow x = 1$ (einzige reelle Lösung).

$f''(1) = 9900 > 0$ → Minimum. $f(1) = 1 - 100 = -99$:

$$TP(1 \mid -99)$$

Wendepunkte: $f''(x) = 9900\,x^{98} = 0$ nur bei $x = 0$. Da $98$ gerade ist, gilt $x^{98} \geq 0$ — kein Vorzeichenwechsel, also kein Wendepunkt. Der Graph ist überall linksgekrümmt.

Grenzverhalten: Leitterm $x^{100}$, gerader Grad, positiv → $+\infty$ für $x \to \pm\infty$.

Der Graph sieht aus wie eine sehr flache, dann extrem steil ansteigende Wanne mit dem Tiefpunkt bei $x = 1$. Jeder Schritt lief genau wie in Aufgabe 1 — nur die Paritäten der Exponenten muss man sorgfältig beachten.