Kapitel IV: Grundlagen der Differenzialrechnung

Die Differenzialrechnung beantwortet eine grundlegende Frage: Wie schnell ändert sich eine Größe? Ein Auto beschleunigt, eine Bevölkerung wächst, eine Kurve hat an jedem Punkt eine eigene Steigung. All das lässt sich mit dem Begriff der Ableitung präzise fassen.

IV.1 Durchschnittliche Änderungsrate

Motivierendes Beispiel

Ein Steinwurf: Die Höhe (in Metern) nach tt Sekunden sei h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t

Wie schnell steigt die Höhe zwischen t1=1st_1 = 1\,\text{s} und t2=3st_2 = 3\,\text{s}?

h(3)−h(1)3−1=(−5⋅9+60)−(−5+20)2=15−152=0ms\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1} = \frac{(-5 \cdot 9 + 60) - (-5 + 20)}{2} = \frac{15 - 15}{2} = 0 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}

Der Stein ist im Mittel nicht gestiegen — er war auf dem Weg nach oben und schon wieder auf dem Weg nach unten.

Der Differenzenquotient

Sei ff eine Funktion, x0x_0 ein fester Punkt und h≠0h \neq 0 ein „Schritt” nach rechts (oder links). Dann heißt

f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

der Differenzenquotient von ff an der Stelle x0x_0 mit der Schrittweite hh.

NoteSprechweise
  • f(x0+h)−f(x0)f(x_0 + h) - f(x_0) ist die Änderung des Funktionswerts (auch: Δy\Delta y)
  • hh ist die Änderung der xx-Koordinate (auch: Δx\Delta x)
  • Der Differenzenquotient ist also ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} — die durchschnittliche Änderungsrate

Geometrische Deutung: Sekantensteigung

Geometrisch verbindet der Differenzenquotient die beiden Punkte P=(x0,f(x0))undQ=(x0+h,f(x0+h))P = (x_0,\, f(x_0)) \quad \text{und} \quad Q = (x_0 + h,\, f(x_0 + h)) durch eine Sekante. Die Steigung dieser Sekante ist genau der Differenzenquotient.

Sekante durch P = (1, f(1)) und Q = (3, f(3)) bei f(x) = −5x² + 20x. Steigung = 0.

Mittlere Änderungsrate in Sachkontexten

In Sachaufgaben hat der Differenzenquotient stets eine Einheit:

Kontext Zähler Δy\Delta y Nenner Δx\Delta x Einheit
Bewegung Strecke (m) Zeit (s) m/s
Temperaturverlauf Temperatur (°C) Zeit (h) °C/h
Wachstum Einwohner Jahre E/Jahr

Beispiel: Eine Pflanze ist nach 2 Wochen 8 cm hoch, nach 6 Wochen 20 cm. Mittlere Wachstumsrate: 20−86−2=124=3cmWoche\frac{20 - 8}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3 \;\frac{\text{cm}}{\text{Woche}}

IV.2 Momentane Änderungsrate – der Differenzialquotient

Grenzwert des Differenzenquotienten

Was passiert, wenn der Punkt QQ immer näher an PP heranrückt, d.h. h→0h \to 0? Die Sekante dreht sich und nähert sich einer bestimmten Lage — der Tangente an ff im Punkt PP.

Sekanten bei f(x) = x² nähern sich der Tangente in P(1 | 1) an, wenn h → 0.

Die Farben von grau zu rot zeigen h=2,1,0,5,0,2h = 2, 1, 0{,}5, 0{,}2 — die Sekanten nähern sich der grünen Tangente an.

Definition des Differenzialquotienten

ImportantDefinition: Ableitung an einer Stelle

Die Funktion ff heißt differenzierbar an der Stelle x0x_0, wenn der Grenzwert f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung (oder Differenzialquotient) von ff an der Stelle x0x_0.

Beispiel: f(x)=x2f(x) = x^2, x0=1x_0 = 1: f(1+h)−f(1)h=(1+h)2−1h=1+2h+h2−1h=2h+h2h=2+h\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h

Für h→0h \to 0 ergibt sich: f′(1)=2f'(1) = 2.

Die Tangente an f(x)=x2f(x) = x^2 im Punkt P(1∣1)P(1 \mid 1) hat die Steigung 2.

Nicht differenzierbare Stellen

An manchen Stellen existiert der Grenzwert nicht — ff ist dort nicht differenzierbar.

Ursache Beispiel Bild
Knickstelle f(x)=|x|f(x) = |x| bei x0=0x_0 = 0 Zwei verschiedene Steigungen von links und rechts
Polstelle f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} bei x0=0x_0 = 0 Funktion nicht definiert
Senkrechte Tangente f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x} bei x0=0x_0 = 0 Steigung =±∞= \pm\infty

IV.3 Die Ableitungsfunktion

Von der Ableitung an einer Stelle zur Ableitungsfunktion

Berechnet man f′(x0)f'(x_0) für alle x0∈Dx_0 \in D, erhält man eine neue Funktion: die Ableitungsfunktion f′f'.

Schreibweisen: f′(x)=dfdx=ḟ(x)f'(x) \quad = \quad \frac{df}{dx} \quad = \quad \dot{f}(x)

Beispiel: Berechnung von f′f' für f(x)=x2f(x) = x^2 an beliebiger Stelle x0x_0: f(x0+h)−f(x0)h=(x0+h)2−x02h=2x0h+h2h=2x0+h→h→02x0\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h} = \frac{2x_0 h + h^2}{h} = 2x_0 + h \;\xrightarrow{h \to 0}\; 2x_0

Also: f′(x)=2xf'(x) = 2x.

Zusammenhang zwischen Graph von ff und Graph von f′f'

Der Graph von f′f' gibt an, wo ff steigt, fällt oder einen waagrechten Punkt hat:

Eigenschaft von ff Aussage über f′f'
ff steigt auf II f′(x)>0f'(x) > 0 für alle x∈Ix \in I
ff fällt auf II f′(x)<0f'(x) < 0 für alle x∈Ix \in I
ff hat ein lokales Extremum bei x0x_0 f′(x0)=0f'(x_0) = 0 (notwendige Bedingung)
ff hat eine Wendestelle bei x0x_0 f′f' hat ein lokales Extremum bei x0x_0

f(x) = x³ − 3x und seine Ableitung f’(x) = 3x² − 3. Nullstellen von f’ markieren Extremstellen von f.

An x=−1x = -1 und x=1x = 1 gilt f′(x)=0f'(x) = 0: dort hat ff lokale Extremstellen. Zugleich sind das die Extremstellen von f′f' — was auf Wendestellen von ff hinweist (mehr dazu in Kapitel V).

Höhere Ableitungen

Ist f′f' selbst differenzierbar, kann man erneut ableiten:

f″(x)=(f′)′(x)(zweite Ableitung)f''(x) = (f')'(x) \qquad \text{(zweite Ableitung)} f‴(x)=(f″)′(x)(dritte Ableitung)f'''(x) = (f'')'(x) \qquad \text{(dritte Ableitung)}

Allgemein: f(n)f^{(n)} bezeichnet die nn-te Ableitung.

Beispiel: f(x)=x4−2x2f(x) = x^4 - 2x^2 f′(x)=4x3−4x,f″(x)=12x2−4,f‴(x)=24xf'(x) = 4x^3 - 4x, \quad f''(x) = 12x^2 - 4, \quad f'''(x) = 24x

IV.4 Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen

Das Berechnen von Ableitungen über den Grenzwert ist mühsam. Für ganzrationale Funktionen gibt es einfache Regeln.

Potenzregel

ImportantPotenzregel

(xn)′=n⋅xn−1(n∈ℕ)\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1} \quad (n \in \mathbb{N})

f(x)f(x) f′(x)f'(x)
x0=1x^0 = 1 00
x1=xx^1 = x 11
x2x^2 2x2x
x3x^3 3x23x^2
x4x^4 4x34x^3
xnx^n n⋅xn−1n \cdot x^{n-1}

Merkregel: Exponent vor die Potenz ziehen, Exponent um 1 verringern.

Faktorregel

ImportantFaktorregel

(c⋅f(x))′=c⋅f′(x)(c∈ℝ)\left(c \cdot f(x)\right)' = c \cdot f'(x) \quad (c \in \mathbb{R})

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

Beispiel: (5x3)′=5⋅3x2=15x2(5x^3)' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2

Summenregel

ImportantSummenregel

(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)\left(f(x) + g(x)\right)' = f'(x) + g'(x)

Ein Polynom wird gliedweise abgeleitet.

Gilt auch für Differenzen: (f−g)′=f′−g′(f - g)' = f' - g'.

Ableitung von Polynomen: Vorgehen und Beispiele

Schritt für Schritt:

  1. Klammer ausmultiplizieren / Brüche vereinfachen (falls nötig)
  2. Jeden Term mit Faktor- und Potenzregel ableiten
  3. Zusammenfassen

Beispiel 1: f(x)=3x4−2x3+5x−7f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7

f′(x)=12x3−6x2+5f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5

(Die Konstante −7-7 fällt weg: (c)′=0(c)' = 0.)

Beispiel 2: f(x)=12x4−3x2+1f(x) = \dfrac{1}{2}x^4 - 3x^2 + 1

f′(x)=12⋅4x3−3⋅2x=2x3−6x,f″(x)=6x2−6f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x = 2x^3 - 6x, \qquad f''(x) = 6x^2 - 6

Beispiel 3: f(x)=(x+2)2f(x) = (x+2)^2

Erst ausmultiplizieren: f(x)=x2+4x+4f(x) = x^2 + 4x + 4

f′(x)=2x+4f'(x) = 2x + 4

Beispiel 4: f(x)=2x3−4xxf(x) = \dfrac{2x^3 - 4x}{x} für x≠0x \neq 0

Erst kürzen: f(x)=2x2−4f(x) = 2x^2 - 4

f′(x)=4xf'(x) = 4x

IV.5 Tangentengleichung und Steigungswinkel

Gleichung der Tangente

Die Tangente an den Graphen von ff im Punkt P(x0∣f(x0))P(x_0 \mid f(x_0)) ist die Gerade mit der Steigung f′(x0)f'(x_0), die durch PP verläuft.

ImportantTangentengleichung

t(x)=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0)t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)

Vorgehen:

  1. f(x0)f(x_0) berechnen (Berührpunkt)
  2. f′(x0)f'(x_0) berechnen (Steigung der Tangente)
  3. Punkt-Steigungs-Form einsetzen

Beispiel: f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x, Tangente bei x0=1x_0 = 1

  1. f(1)=1−1=0f(1) = 1 - 1 = 0 → Berührpunkt: P(1∣0)P(1 \mid 0)
  2. f′(x)=3x2−1f'(x) = 3x^2 - 1, also f′(1)=3⋅1−1=2f'(1) = 3 \cdot 1 - 1 = 2
  3. t(x)=2(x−1)+0=2x−2t(x) = 2(x - 1) + 0 = 2x - 2

f(x) = x³ − x mit Tangente und Normale in P(1 | 0)

Steigungswinkel α\alpha

Der Steigungswinkel α\alpha einer Geraden mit Steigung mm ist der Winkel, den die Gerade mit der positiven xx-Achse einschließt:

tan⁡α=m=f′(x0)⇒α=arctan⁡(f′(x0))\tan \alpha = m = f'(x_0) \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \arctan(f'(x_0))

Beispiel: f′(1)=2f'(1) = 2 → α=arctan⁡(2)≈63,4°\alpha = \arctan(2) \approx 63{,}4°

Steigung mm Winkel α\alpha
00 0°0° (waagrecht)
11 45°45°
−1-1 −45°-45° (oder 135°135°)
m→+∞m \to +\infty 90°90° (senkrecht)

Normale an einen Funktionsgraphen

Die Normale in P(x0∣f(x0))P(x_0 \mid f(x_0)) steht senkrecht auf der Tangente. Ihre Steigung ist: mn=−1f′(x0)(falls f′(x0)≠0)m_n = -\frac{1}{f'(x_0)} \quad \text{(falls } f'(x_0) \neq 0 \text{)}

Die Normalengleichung lautet entsprechend: n(x)=−1f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0)n(x) = -\frac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0)

Beispiel (Fortsetzung): f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x, x0=1x_0 = 1: n(x)=−12(x−1)+0=−12x+12n(x) = -\frac{1}{2}(x - 1) + 0 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}

Rückblick: Wichtige Formeln

Begriff Formel
Differenzenquotient f(x0+h)−f(x0)h\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
Ableitung (Definition) f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
Potenzregel (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n\cdot x^{n-1}
Faktorregel (c⋅f)′=c⋅f′(c\cdot f)' = c\cdot f'
Summenregel (f+g)′=f′+g′(f+g)' = f' + g'
Tangentengleichung t(x)=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0)t(x) = f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)
Normalensteigung mn=−1f′(x0)m_n = -\dfrac{1}{f'(x_0)}
Steigungswinkel α=arctan⁡(f′(x0))\alpha = \arctan(f'(x_0))