Kapitel V: Anwendungen der Differenzialrechnung

Mit den Ableitungsregeln aus Kapitel IV können wir jetzt das Verhalten von Funktionen systematisch untersuchen: Wo steigt $f$, wo fällt sie? Wo liegen Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte? Die Kurvendiskussion fasst all das zusammen.

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V.1 Monotonie

Monotonieverhalten und Vorzeichen von $f'$

Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung der Tangente an — und damit das momentane Steigungsverhalten von $f$:

ImportantMonotoniesatz

Sei $f$ auf einem Intervall $I$ differenzierbar.

• $f'(x) > 0$ für alle $x \in I$ $\Rightarrow$ $f$ ist auf $I$ streng monoton steigend
• $f'(x) < 0$ für alle $x \in I$ $\Rightarrow$ $f$ ist auf $I$ streng monoton fallend
• $f'(x) = 0$ für alle $x \in I$ $\Rightarrow$ $f$ ist auf $I$ konstant

Umkehrung gilt nicht zwingend: Eine monoton steigende Funktion kann an einzelnen Stellen $f'(x_0) = 0$ haben (z.B. $f(x) = x^3$ bei $x_0 = 0$).

Monotonietabelle aufstellen

Vorgehen:

1. $f'(x)$ berechnen
2. Nullstellen von $f'$ bestimmen (Grenzen der Monotoniebereiche)
3. Vorzeichen von $f'$ in jedem Teilintervall prüfen (Probewert einsetzen)
4. Monotonieverhalten ablesen

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Beispiel: $f(x) = x^3 - 3x$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

Nullstellen von $f'$: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$

Intervall	Probewert	$f'$	Monotonie
$(-\infty,\,-1)$	$x = -2$: $f'(-2) = 9 > 0$	$+$	steigend
$(-1,\,1)$	$x = 0$: $f'(0) = -3 < 0$	$-$	fallend
$(1,\,+\infty)$	$x = 2$: $f'(2) = 9 > 0$	$+$	steigend

f(x) = x³ − 3x und f’(x) = 3x² − 3. Grüne Bereiche: f steigt; roter Bereich: f fällt.

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V.2 Extremstellen

Notwendige Bedingung

Ist $f$ in $x_0$ differenzierbar und hat dort ein lokales Extremum, so gilt: $$f'(x_0) = 0$$

WarningAchtung: Nur notwendig, nicht hinreichend!

$f'(x_0) = 0$ allein garantiert noch kein Extremum. Gegenbeispiel: $f(x) = x^3$ bei $x_0 = 0$: $f'(0) = 0$, aber kein Extremum.

Hinreichende Bedingung I: Vorzeichenwechselkriterium (VZK)

ImportantVorzeichenwechselkriterium

Sei $f'(x_0) = 0$.

• $f'$ wechselt bei $x_0$ von $+$ nach $-$: lokales Maximum in $x_0$
• $f'$ wechselt bei $x_0$ von $-$ nach $+$: lokales Minimum in $x_0$
• kein Vorzeichenwechsel: kein Extremum (Terrassenpunkt möglich)

Hinreichende Bedingung II: zweite Ableitung

ImportantKriterium mit $f''$

Sei $f'(x_0) = 0$.

• $f''(x_0) > 0$: lokales Minimum (Kurve ist nach oben gekrümmt)
• $f''(x_0) < 0$: lokales Maximum (Kurve ist nach unten gekrümmt)
• $f''(x_0) = 0$: keine Aussage — weitere Untersuchung nötig

Beispiel (Fortsetzung): $f(x) = x^3 - 3x$, $f''(x) = 6x$

Stelle	$f'(x_0)$	$f''(x_0)$	Schluss	Punkt
$x_0 = -1$	$0$	$f''(-1) = -6 < 0$	lokales Maximum	$HP(-1 \mid 2)$
$x_0 = 1$	$0$	$f''(1) = 6 > 0$	lokales Minimum	$TP(1 \mid -2)$

Lokale und globale Extrema

Ein lokales (relatives) Extremum ist nur im Vergleich mit benachbarten Punkten ein Höchst- bzw. Tiefstwert.

Ein globales (absolutes) Extremum auf einem Intervall $[a, b]$ ist der größte bzw. kleinste Wert auf dem gesamten Intervall. Er kann auch am Rand liegen.

Randextrema auf einem Intervall

Auf einem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ muss man stets vergleichen:

1. Alle lokalen Extremwerte (innere Stellen: $f'(x_0) = 0$)
2. Randwerte: $f(a)$ und $f(b)$

Das globale Maximum ist der größte, das globale Minimum der kleinste dieser Werte.

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V.3 Krümmung und zweite Ableitung

Linkskrümmung und Rechtskrümmung

Die zweite Ableitung $f''$ beschreibt, wie sich die Steigung $f'$ selbst ändert — das heißt, ob die Kurve nach oben oder unten „gewölbt” ist.

ImportantKrümmungsregel

• $f''(x) > 0$: Linkskrümmung (konvex, nach oben geöffnet — wie ein Lineal-Bogen)
• $f''(x) < 0$: Rechtskrümmung (konkav, nach unten geöffnet)

Links: Linkskrümmung (f’’ > 0) — die Tangente dreht sich aufwärts. Rechts: Rechtskrümmung (f’’ < 0).

Krümmungsverhalten als Monotonieverhalten von $f'$

Da $f'' = (f')'$:

• $f'' > 0$ bedeutet $f'$ ist steigend — die Kurve dreht ihre Tangente nach links (aufwärts)
• $f'' < 0$ bedeutet $f'$ ist fallend — die Kurve dreht ihre Tangente nach rechts (abwärts)

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V.4 Wendestellen

Definition und notwendige Bedingung

Eine Stelle $x_0$, an der die Krümmung wechselt (von Links- zu Rechtskrümmung oder umgekehrt), heißt Wendestelle. Der zugehörige Kurvenpunkt $W(x_0 \mid f(x_0))$ heißt Wendepunkt.

ImportantNotwendige Bedingung für Wendestellen

$$f''(x_0) = 0$$

Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von $f''$

ImportantVorzeichenwechselkriterium für Wendestellen

$f''$ wechselt bei $x_0$ das Vorzeichen $\Rightarrow$ $x_0$ ist Wendestelle.

Kein Vorzeichenwechsel $\Rightarrow$ kein Wendepunkt (z.B. $f(x) = x^4$ bei $x_0 = 0$).

Beispiel: $f(x) = x^3 - 3x$, $f''(x) = 6x$

$f''(x) = 0$ bei $x_0 = 0$. Für $x < 0$ gilt $f''(x) < 0$ (Rechtskrümmung), für $x > 0$ gilt $f''(x) > 0$ (Linkskrümmung). → Vorzeichenwechsel ✓

Wendepunkt: $W(0 \mid f(0)) = W(0 \mid 0)$

Sattelpunkte (Terrassenpunkte)

Gilt zusätzlich $f'(x_0) = 0$, so ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt (oder Terrassenpunkt): Die Tangente ist dort waagrecht, aber es liegt kein Extremum vor.

Beispiel: $f(x) = x^3$ bei $x_0 = 0$: $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$, Vorzeichenwechsel von $f'' \Rightarrow$ Sattelpunkt $S(0 \mid 0)$.

Wendepunkt als Stelle maximalen Wachstums

Am Wendepunkt ist $f'$ maximal (oder minimal) — die Funktion wächst dort am schnellsten (oder langsamsten). Das ist in Sachkontexten oft bedeutsam (z.B. „stärkste Zunahme der Bevölkerung”).

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V.5 Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

Vollständige Vorgehensweise

Eine Kurvendiskussion untersucht alle wesentlichen Eigenschaften einer Funktion in festgelegter Reihenfolge:

1. Definitionsmenge $D$
2. Symmetrie (gerade / ungerade Funktion?)
3. Nullstellen ($f(x) = 0$)
4. Extrempunkte ($f'(x_0) = 0$, Vorzeichen prüfen)
5. Wendepunkte ($f''(x_0) = 0$, Vorzeichen prüfen)
6. Verhalten für $x \to \pm\infty$
7. Graph zeichnen

Vollständiges Beispiel: $f(x) = x^4 - 8x^2$

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Schritt 1 — Definitionsmenge:

$$D = \mathbb{R}$$

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Schritt 2 — Symmetrie:

$$f(-x) = (-x)^4 - 8(-x)^2 = x^4 - 8x^2 = f(x)$$

$f$ ist eine gerade Funktion → Achsensymmetrie zur $y$-Achse. Es reicht, die rechte Seite zu untersuchen.

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Schritt 3 — Nullstellen:

$$f(x) = x^4 - 8x^2 = x^2(x^2 - 8) = 0$$

$x_1 = 0$ (doppelte NS), $x_2 = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$, $x_3 = -2\sqrt{2}$ (wegen Symmetrie)

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Schritt 4 — Ableitungen:

$$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)$$ $$f''(x) = 12x^2 - 16$$

Nullstellen von $f'$: $x = 0$, $x = 2$, $x = -2$

Stelle	$f'(x_0)$	$f''(x_0)$	Schluss	Punkt
$x_0 = -2$	$0$	$f''(-2) = 48 - 16 = 32 > 0$	lokales Minimum	$TP(-2 \mid -16)$
$x_0 = 0$	$0$	$f''(0) = -16 < 0$	lokales Maximum	$HP(0 \mid 0)$
$x_0 = 2$	$0$	$f''(2) = 32 > 0$	lokales Minimum	$TP(2 \mid -16)$

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Schritt 5 — Wendepunkte:

$$f''(x) = 12x^2 - 16 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = \frac{4}{3} \;\Rightarrow\; x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1{,}15$$

Vorzeichenwechsel von $f''$ bei beiden Stellen: ✓

$$f\!\left(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right) = \left(\tfrac{4}{3}\right)^2 - 8 \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{16}{9} - \tfrac{32}{3} = -\tfrac{80}{9} \approx -8{,}9$$

Wendepunkte: $W_1\!\left(-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\,\middle|\,-\tfrac{80}{9}\right)$ und $W_2\!\left(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\,\middle|\,-\tfrac{80}{9}\right)$

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Schritt 6 — Grenzverhalten:

Führender Term $x^4$ mit positivem Koeffizient, Grad 4 (gerade): $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$$

Beide Enden zeigen nach oben.

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Schritt 7 — Graph:

Kurvendiskussion: f(x) = x⁴ − 8x² mit allen charakteristischen Punkten

Rot: Extrem­punkte — Orange: Wende­punkte — Grün (Kreise): Null­stellen

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V.6 Newton-Verfahren

Idee: iterative Näherung an eine Nullstelle

Viele Gleichungen der Form $f(x) = 0$ lassen sich nicht exakt lösen. Das Newton-Verfahren liefert durch Iteration sehr genaue Näherungswerte.

Grundidee: Statt $f$ selbst betrachtet man die Tangente an $f$ in einem Startpunkt $x_0$. Die Nullstelle dieser Tangente ist ein besserer Näherungswert $x_1$. Das Verfahren wird mit $x_1$ wiederholt.

Iterationsformel

ImportantNewton-Verfahren

Gegeben $f$, Startwert $x_0$. Die Folge $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ konvergiert (bei guter Startwahl) gegen eine Nullstelle von $f$.

Geometrische Deutung

Newton-Verfahren für f(x) = x³ − 2, Startwert x₀ = 2. Drei Iterationen nähern sich ∛2 ≈ 1,2599.

Schritt-für-Schritt-Rechnung

Gesucht: Näherung für $\sqrt[3]{2}$, d.h. Nullstelle von $f(x) = x^3 - 2$.

$f'(x) = 3x^2$, Startwert $x_0 = 2$:

$$x_1 = 2 - \frac{2^3 - 2}{3 \cdot 2^2} = 2 - \frac{6}{12} = 1{,}5$$

$$x_2 = 1{,}5 - \frac{1{,}5^3 - 2}{3 \cdot 1{,}5^2} = 1{,}5 - \frac{1{,}375}{6{,}75} \approx 1{,}2963$$

$$x_3 \approx 1{,}2963 - \frac{1{,}2963^3 - 2}{3 \cdot 1{,}2963^2} \approx 1{,}2600$$

Exakter Wert: $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}25992\ldots$ — schon nach drei Schritten auf 4 Dezimalstellen genau.

Konvergenz und Startwertwahl

Das Newton-Verfahren konvergiert sehr schnell (quadratische Konvergenz: Die Zahl der korrekten Nachkommastellen verdoppelt sich pro Schritt), aber nicht immer:

Situation	Risiko
Startwert zu weit von Nullstelle	Konvergenz zu falscher Nullstelle oder Divergenz
$f'(x_n) \approx 0$	Division durch sehr kleine Zahl, Instabilität
Mehrere Nullstellen	Welche gefunden wird, hängt vom Startwert ab

Faustregel: Nullstelle zunächst graphisch eingrenzen, dann Startwert in der Nähe wählen.

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Rückblick: Wichtige Formeln und Kriterien

Begriff	Kriterium
Monoton steigend auf $I$	$f'(x) > 0$ für alle $x \in I$
Monoton fallend auf $I$	$f'(x) < 0$ für alle $x \in I$
Notwendige Bedingung Extremum	$f'(x_0) = 0$
Hinr. Bedingung Extremum (VZK)	$f'$ wechselt Vorzeichen bei $x_0$
Hinr. Bedingung Extremum ($f''$)	$f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)\neq 0$
Lokales Maximum	$f''(x_0) < 0$
Lokales Minimum	$f''(x_0) > 0$
Linkskrümmung	$f''(x) > 0$
Rechtskrümmung	$f''(x) < 0$
Notwendige Bedingung Wendestelle	$f''(x_0) = 0$
Hinr. Bedingung Wendestelle	$f''$ wechselt Vorzeichen bei $x_0$
Sattelpunkt	$f'(x_0) = 0$ und Wendestelle
Newton-Verfahren	$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$