Kapitel 1: Einführung in die Lineare Algebra

1.1 Motivation und Anwendungen

Lineare Algebra ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik mit breiten Anwendungen in Physik, Informatik, Ingenieurwissenschaften und Datenwissenschaft. Sie bildet die mathematische Grundlage für maschinelles Lernen, Computergrafik, Signalverarbeitung und viele weitere Disziplinen.

1.2 Skalare, Vektoren und Matrizen

Skalare sind einzelne reelle (oder komplexe) Zahlen, z. B. $c \in \mathbb{R}$.

Vektoren sind geordnete Listen von Zahlen: $$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$$

Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten: $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n}$$

1.3 Notation und Konventionen

• Skalare werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet: $a, b, c$
• Vektoren werden fett oder mit Pfeil geschrieben: $\mathbf{v}$ oder $\vec{v}$
• Matrizen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet: $A, B, C$
• Das Element in Zeile $i$ und Spalte $j$ einer Matrix $A$ wird mit $a_{ij}$ bezeichnet