Kapitel 5: Operationen mit Matrizen

5.1 Matrixaddition

Definition: Matrixaddition

Seien $A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$. Die Summe $A + B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ist komponentenweise definiert: $$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$ Addition ist nur für Matrizen gleicher Dimension definiert.

Beispiel

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$$

Übung

Berechne $A + B$ für $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix}$.

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5.2 Skalarmultiplikation

Definition: Skalarmultiplikation

Sei $c \in \mathbb{R}$ und $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$. Das skalare Vielfache $cA \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ist: $$(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}$$

Beispiel

$$3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}$$

Übung

Berechne $-2A$ für $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -3 & 0 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$.

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5.3 Matrixmultiplikation

Definition: Matrixmultiplikation

Seien $A \in \mathbb{R}^{m \times k}$ und $B \in \mathbb{R}^{k \times n}$. Das Produkt $AB \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ist definiert durch: $$(AB)_{ij} = \sum_{l=1}^{k} a_{il} \cdot b_{lj}$$ Das Produkt ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl von $A$ gleich der Zeilenzahl von $B$ ist.

Beispiel

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$

Wichtig: Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ: $AB \neq BA$.

Übung

Berechne $AB$ und $BA$ für $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Sind die Ergebnisse gleich?

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5.4 Transponierte Matrix

Definition: Transponierte

Die Transponierte $A^\top \in \mathbb{R}^{n \times m}$ einer Matrix $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ entsteht durch Vertauschen von Zeilen und Spalten: $$(A^\top)_{ij} = a_{ji}$$

Beispiel

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 3} \implies A^\top = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$$

Eine quadratische Matrix mit $A = A^\top$ heißt symmetrisch, z. B.: $$S = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$

Übung

Bestimme $B^\top$ für $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ und prüfe, ob $B$ symmetrisch ist.