Kapitel 3: Vektorräume (Grundidee)

3.1 Begriff des Vektorraums

Ein Vektorraum ist eine Menge von Objekten (genannt Vektoren), auf der zwei Operationen definiert sind — Addition und Skalarmultiplikation — die bestimmten Rechenregeln genügen.

Definition: Vektorraum

Eine Menge $V$ mit einer Addition $+: V \times V \to V$ und einer Skalarmultiplikation $\cdot: \mathbb{R} \times V \to V$ heißt reeller Vektorraum, wenn für alle $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ und $c, d \in \mathbb{R}$ gilt:

1. $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$ (Kommutativität)
2. $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ (Assoziativität)
3. Es gibt ein neutrales Element $\mathbf{0} \in V$ mit $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$
4. Zu jedem $\mathbf{v}$ gibt es ein $-\mathbf{v}$ mit $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$
5. $c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}$
6. $(c + d)\mathbf{v} = c\mathbf{v} + d\mathbf{v}$
7. $(cd)\mathbf{v} = c(d\mathbf{v})$
8. $1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}$

Beispiel

$\mathbb{R}^n$ mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation ist der grundlegendste reelle Vektorraum. Alle acht Axiome lassen sich direkt anhand der Komponentenrechnung nachprüfen.

Übung

Überprüfe die Axiome 3 und 4 für $\mathbb{R}^2$: Welches Element spielt die Rolle von $\mathbf{0}$, und wie sieht $-\mathbf{v}$ für $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}$ aus?

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3.2 Beispiele von Vektorräumen

Beispiel

Folgende Mengen sind reelle Vektorräume:

• $\mathbb{R}^n$ mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation
• $\mathbb{R}^{m \times n}$, die Menge aller $m \times n$-Matrizen
• $\mathcal{P}_n$, die Menge aller Polynome vom Grad $\leq n$, z. B. $p(x) = 3x^2 - x + 2$
• $C([a,b])$, die Menge aller stetigen Funktionen auf $[a,b]$

Übung

Ist die Menge $M = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0 \}$ ein Vektorraum? Begründe deine Antwort anhand der Axiome.

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3.3 Unterräume

Definition: Unterraum

Eine nicht-leere Teilmenge $U \subseteq V$ heißt Unterraum von $V$, wenn:

1. $\mathbf{0} \in U$
2. $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in U \Rightarrow \mathbf{u} + \mathbf{v} \in U$ (abgeschlossen unter Addition)
3. $\mathbf{u} \in U, c \in \mathbb{R} \Rightarrow c\mathbf{u} \in U$ (abgeschlossen unter Skalarmultiplikation)

Beispiel

Die Menge $U = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x \}$ ist ein Unterraum von $\mathbb{R}^2$: Sie enthält $\mathbf{0} = (0,0)$, ist abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation. Geometrisch ist $U$ eine Gerade durch den Ursprung.

Übung

Ist $W = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x + 1 \}$ ein Unterraum von $\mathbb{R}^2$? Prüfe alle drei Bedingungen.

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3.4 Lineare Unabhängigkeit

Definition: Lineare Unabhängigkeit

Vektoren $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k \in V$ heißen linear unabhängig, wenn aus $$c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$$ folgt, dass $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$. Andernfalls heißen sie linear abhängig.

Beispiel

Die Vektoren $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ sind linear unabhängig: Aus $c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$ folgt $\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, also $c_1 = c_2 = 0$.

Dagegen sind $\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ linear abhängig, da $2\mathbf{u}_1 - \mathbf{u}_2 = \mathbf{0}$.

Übung

Sind $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ linear unabhängig? Stelle das Gleichungssystem $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$ auf und löse es.